Diskrete Mathematik mit 600 Übungsaufgaben
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Wiesbaden
Vieweg
2004
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| Ausgabe: | 5., überarb. und erw. Aufl. |
| Schriftenreihe: | Vieweg Studium : Aufbaukurs Mathematik
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort v
Teil
1 Grundlagen 3
1.1 Elementare Zählprinzipien....................... 3
1.2 Die fundamentalen Zählkoeffizienten................. 6
1.3 Permutationen............................. 10
1.4 Rekursionen............................... 13
1.5 Diskrete WahrschemHchkeitsrechnung................ 18
1.6 Existenzaussagen............................ 24
Übungen................................. 27
2
2.1 Direkte Methoden........................... 35
2.2 Differenzenrechnung.......................... 39
2.3 Inversion................................. 45
2.4 Inklusion-Exklusion........................... 48
Übungen................................. 53
3 Erzeugende Funktionen 57
3.1 Definition und Beispiele........................ 57
3.2 Lösung von Rekursionen........................ 58
3.3 Erzeugende Funktionen vom Exponentialtyp............. 65
Übungen................................. 67
4 Abzählung von Mustern 73
4.1 Symmetrien............................... 73
4.2 Problemstellung............................. 75
4.3 Muster und Zyklenindikator...................... 77
4.4 Der Satz von Polya........................... 79
Übungen................................. 85
5 Asymptotische Analyse 89
5.1 Wachstum von Funktionen....................... 89
5.2 Größenordnung von Rekursionen................... 93
5.3 Laufzeit von Algorithmen....................... 96
Übungen................................. 98
Teil
6 Graphen 105
6.1 Definition und Beispiele........................ 105
6.2 Darstellung von Graphen....................... 109
6.3 Wege und Kreise............................ 112
6.4 Gerichtete Graphen........................... 115
Übungen................................. 118
7 Bäume 123
7.1 Begriff und Charakterisierung..................... 123
7.2
7.3 Minimale aufspannende Bäume.................... 128
7.4 Kürzeste Wege in Graphen...................... 131
Übungen................................. 133
8 Matchings und Netzwerke 137
8.1 Matchings in bipartiten Graphen................... 137
8.2 Konstruktion von optimalen Matchings................ 141
8.3 Flüsse in Netzwerken.......................... 147
8.4 Eulersche Graphen, das
8.5 Die Komplexitätsklassen P und NP.................. 161
Übungen................................. 163
9 Suchen und Sortieren 169
9.1 Suchprobleme und Entscheidungsbäume............... 169
9.2 Der Hauptsatz der Suchtheorie.................... 172
9.3 Sortieren von Listen.......................... 178
9.4 Binäre Suchbäume........................... 184
Übungen................................. 190
10 Allgemeine Optimierungsmethoden 195
10.1 Backtrack................................ 195
10.2 Dynamisches Programmieren..................... 199
10.3 Der Greedy-Algorithmus........................ 206
Übungen................................. 209
Literatur zu Teil
Teil
11 Boolesche Algebren 215
11.1 Definition und Eigenschaften..................... 215
11.2 Aussagenlogik und Boolesche Punktionen .............. 217
11.3 Logische Netze............................. 221
11.4 Boolesche Verbände, Ordnungen, Hypergraphen........... 225
Übungen................................. 231
12 Modulare Arithmetik 235
12.1 Rechnen mit Kongruenzen....................... 235
12.2 Endliche Körper............................ 237
12.3 Lateinische Quadrate.......................... 239
12.4 Kombinatorische Designs........................ 243
Übungen................................. 250
13 Codierung 255
13.1 Problemstellung............................. 255
13.2 Quellencodierung............................ 256
13.3 Entdecken und Korrigieren von Fehlern ............... 258
13.4 Lineare Codes.............................. 262
13.5 Zyklische Codes............................. 267
Übungen................................. 270
14 Kryptographie 275
14.1 Kryptosysteme............................. 275
14.2 Lineare Schieberegister......................... 278
14.3 öffentliche Schlüsselsysteme...................... 284
14.4 Zero-Knowledge-Protokolle ...................... 288
Übungen................................. 291
15 Lineare Optimierung 295
15.1 Beispiele und Definitionen....................... 295
15.2 Dualität................................. 297
15.3 Der Hauptsatz der linearen Optimierung............... 302
15.4 Zulässige Lösungen und optimale Lösungen............. 307
15.5 Der Simplexalgorithmus........................ 311
15.6 Ganzzahlige lineare Optimierung................... 318
Übungen................................. 320
Literatur zu Teil
Lösungen zu ausgewählten Übungen 325
Sachwortverzeichnis 351
Das Standardwerk über Diskrete Mathematik in deutscher Sprache. Nach 10 Jahren
erscheint nun eine vollständig neu bearbeitete Auflage in neuem Layout Das Buch
besteht aus drei Teilen: Abzählung, Graphen und Algorithmen, Algebraische Systeme,
die weitgehend unabhängig voneinander gelesen werden können. Jeder Teil schließt
mit einer Literaturliste für ein weiterführendes Studium. Großer Wert wird auf die
Übungen gelegt, die etwa ein Viertel des Textes ausmachen. Die Übungen sind nach
Schwierigkeitsgrad gegliedert, im Anhang findet man Lösungen für ausgewählte
Übungen. Vorausgesetzt werden nur Vertrautheit mit mathematischen Grundbegriffen
sowie Grundkenntnisse in
1. Semester erworben werden. Das Buch will alle Grundlagen für den Leser bereitstel¬
len. Da Diskrete Mathematik heute eine Grundlagenwissenschaft auch der Informatik
ist, ist der Stoff so gewählt, dass Mathematiker und Informatiker gleichermaßen davon
profitieren können. Dabei wird der algorithmische Standpunkt besonders betont.
Die vorliegende Auflage wurde grundlegend überarbeitet, zwei neue Kapitel wurden
ergänzt: eines über Abzählung von Mustern mit Symmetrien, und femer wurde das
Kapitel über Codes erweitert und geteilt in Codierung und Kryptographie. Schließlich
sollen 100 neue Übungen den Leser zum Nachdenken und weiterem Studium einladen.
Der Inhalt
• Abzählung: Grundlagen -
Asymptotische Analyse
• Graphen und Algorithmen: Graphen - Bäume - Matchings und Netzwerke -
Suchen und Sortieren - Allgemeine Optimierungsmethoden
• Algebraische Systeme: Boolesche Algebren - Modulare Arithmetik - Codierung -
Kryptographie - Lineare Optimierung
• Lösungen zu ausgewählten Übungen
Die Zielgruppen
• Studierende der Mathematik und Informatik ab dem 2. Semester
• Dozenten der genannten Fachbereiche
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