Höhere Mathematik für Mathematiker, Physiker, Ingenieure 2 Integralrechnung, unendliche Reihen, Vektorrechnung nebst Anwendungen
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
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Leipzig [u.a.]
B. G. Teubner Verlagsgesellschaft
1962
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| Ausgabe: | 16. Aufl. |
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22 |
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I. Integralrechnung
§ 1. Allgemeine Integrationsregeln unbestimmter Integrale ... 9
1. Die Integralrechnung. 2. Grundintegrale und Integrationsregeln. 3. Kom¬
plexe Integrale. 4. Beispiele. 5. Rekursionsformeln. 6._Weitere Beispiele.
§2. Weitere Integrationsregeln und Anwendungen 16
1. Erweiterte unvollständige Integration. 2. Wiederholte Integrale. 3. Zwei
Lehrsätze (Ahschätzungssätze). 4. Wiederholte Integration bei bestimmten
Integralen mit fester unterer Grenze.
§ 3. Einige Integrale mit quadratischen Funktionen 21
1. Integrale der Form L = /dx/q(x), M = fdxlVq(x), N = fl/q(x)dx, worin
g(x) = a + /Jx + yx2ist. 2. Beispiele. 3. Freier Fall im widerstehenden Mittel.
§4. Integration der rationalen Funktionen 24
1. Teilbruchzerlegung. 2. Integrale rationaler Funktionen. 3. Beispiele. 4. In¬
tegrale von irrationalen algebraischen oder transzendenten Funktionen.
Übungen zu § 1 bis § 4. Achtundzwanzig Aufgaben 29
§ 5. Von dem bestimmten Integral als Grenzwert einer Summe 33
1. Vorbemerkungen. Grundfrage der Integralrechnung. 2. Inneres und äuße¬
res Integral. 3. Integrable Funktionen. 4. Satz von der gleichmäßigen
Stetigkeit. 5. Beweis zu Lehrsatz 3.
§6. Eigenschaften des bestimmten Integrals als Grenzwert
einer Summe. Seine Berechnung ohne Kenntnis des unbe¬
stimmten Integrals. Mittelwertsatz 39
1. Maßzahl des Flächeninhalts als bestimmtes Integral. 2. Berechnung des
bestimmten Integrals. 3.Beispiel. 4. Ableitung eines bestimmten Integrals
nach seiner oberen Grenze. 5. Eigenschaften integrierbarer Funktionen.
6. Mittelwertsatz der Integralrechnung.
§7. Angenäherte Quadratur, zeichnerische Integration 44
1. Trapezformel, Tangentenformel, Simpsonsche Regel. 2. Genauigkeit der
Simpsonschen Regel. 3. Zeichnerische Quadratur. 4. Zeichnerische Inte¬
gration.
5
§8. Einige Anwendungen der Integralrechnung auf Geometrie
und Mechanik 51
1. Flächeninhalt in schiefwinkligen Koordinaten. 2. Einfach geschlossene
Fläche mit Umlaufssinn. 3. Bogenlänge. 4. Rauminhalt eines geraden
Zylinders. 5. Cavalierisches Prinzip. 6. Rauminhalt eines Drehkörpers.
7. Mantelinhalt einer Drehfläche. 8. Beispiel. Kreisring (Toms). 9. Schwer¬
punkt eines ehenen homogenen Flächenstückes. 10. Schwerpunkt eines homo¬
genen ebenen Kurvenstückes. 11. Schwerpunkt eines homogenen Körpers.
Übungen zu §5 bis §8. Elf Aufgaben 62
§ 9. Einige analytische Anwendungen 65
1. Mittelwerte. 2. Taylorsche Formel. 3. Trigonometrische Summen. Euler
Fouriersche Formeln. 4. Harmonische Analyse. 5. Besondere Fälle.
§ 10. Uneigentliche Integrale 71
1. Uneigentliche Integrale. 2. Beispiele. 3. Integrale mit unendlichen Gren¬
zen. 4. Integrale von unbeschränkten Funktionen. 5. Gammafunktion oder
Gaußsche Pifunktion. 6.f« x dx. I.flnsinxdx. 8. Stefan Boltzmannschea
o o
Gesetz der Gesamtstrahlung.
§ 11. Über Planimeter und Integraphen 79
1. Planimeterformel. 2. Linear und Polarplanimeter. 3. Schneidenplani
meter. 4. Integraph.
Übungen zu §9 bis §11. EU Aufgaben 84
II. Unendliche Reihen, insbesondere Potenzreihen
§ 12. Allgemeines über unendliche Reihen 85
1. Grundbegriffe. 2. Notwendige Konvergenzbedingung. ¦ 3. Allgemeiner
Konvergenzsatz. 4. Reihen mit nur positiven Gliedern. — Reihenverglei¬
chung. 5. Konvergenzprobe un+1: u„ g k 1.6.Konvergenzprobe ]/ü^ ^ k 1.
7. Beispiele. 8. Unendliche Reihen mit Gliedern beliebigen Vorzeichens:
lineare Kombination. 9. Absolute Konvergenz. 10. Beispiele. 11. Satz von
Leibniz. 12. Multiplikationssatz für Reihen. 13. Der Abelsche Konvergenz¬
satz. 14. Beispiele. 15. Bemerkungen.
§ 13. Potenzreihen: Allgemeine Sätze 95
1. Vorbemerkungen. 2. Konvergenzsatz. 3. Konvergenzradius. 4. Ableitung
einer Potenzreihe. 5. Integration einer Potenzreihe.
6
§ 14. Besondere Potenzreihen und Taylorsche Reihe 101
1. Ableitungen der geometrischen Reihe. 2. Reihen für e , ©ofx, Sin x.
3. Logarithmische Reihen. 4. Reihen für arc tg * und für n. 5. Die Taylor¬
sche Reihe. 6. Beispiel: Binomische Reihe. 7. Arkussinusreihe. 8. Zusammen¬
hang zwischen Taylorscher Formel und Taylorscher Reihe. 9. Verfahren der
unbestimmten Vorzahlen. 10. Reihe für x ctg x. 11. Zusammenstellung der
bisher untersuchten Reihen.
Übungen zu §12 bis §14 Neun Aufgaben 109
§15. Weitere Sätze über unendliche Reihen. Gleichmäßige
Konvergenz 111
1. Unbedingte Konvergenz. 2. Lehrsatz. 3. Lehrsatz. 4. Satz von Riemann.
5. Beispiel.6. Lehrsatz.7. Begriff der gleichmäßigen Konvergenz. 8. Satzvon
Weierstraß. 9. Lehrsatz 10. Beispiele nicht gleichmäßig konvergenter
Reihen. 11. Lehrsatz. 12. Satz von der Integration einer Reihe. 13. Diffe¬
rentiation einer Reihe. 14. Bemerkungen. 15. Trigonometrische Reihen.
16. Eindeutigkeitssatz für Fouriersche Reihen. 17. Beispiele.
§ 16. Anwendungen der Potenzreihen 127
1. Näherungsformeln. 2. Schmiegungsparabel. 3. Krümmung bei flachen
Kurven. 4. Näherungskonstruktionen. 5. Integration durch Potenzreihen.
6. Bogenlänge der Ellipse. 7. Näherungsformel für den Ellipsenumfang.
8. Bogenlänge der Lenmiskate. 9. Elliptische Integrale. 10. Bestimmung des
Integrals I^J j j—^.
o
§ 17. Fortsetzung. Potenzreihen im Komplexen. Uneigentliche
Integrale und Reihen 133
1. Reihen mit komplexen Gliedern. 2. Beispiel. 3. Beispiel. 4. Uneigentliche
Integrale und Reihen. 5. Integrallogarithmus. 6. Stirlingsche Formel.
Übungen zu § 15 bis § 17. Zehn Aufgaben 140
III. Integrale, die von einem Parameter abhangen. Linienintegrale. Integrale im
Komplexen
§ 18. Differentiation und Integration eines bestimmten Inte¬
grals nach einem Parameter 141
1. Differentiation eines bestimmten Integrals nach einem Parameter. 2. Er¬
weiterung der Leibnizschen Regel. 3. Anwendungen. 4. Integration eines be¬
stimmten Integrals nach einem Parameter. 5. Beispiele.
7
§19. Differentiation und Integration uneigentlicher Integrale
nach einem Parameter 146
1. Gleichmäßige Konvergenz eines uneigentlichen Integrals in bezug auf
einen Parameter. 2. Differentiation und Integration eines gleichmäßig kon¬
vergenten uneigentlichen Integrals nach einem Parameter. 3.Anwendungen.
§ 20. Linienintegrale 150
1. Linienintegral. 2. Lehrsatz. 3. Linienintegral eines vollständigen Diffe¬
rentials. 4. Integrabilitätsbedingung. 5. Integrierender Faktor.
§ 21. Anwendungen 155
1. Arbeit und Potential. 2. Beispiel. 3. Thermodynamik. 4. Entropie. 5. Fort¬
setzung.
§ 22. Integrationen im Komplexen 158
1. Integrale im Komplexen. Integralsatz von Cauchy. 2. Anwendung.
3. Fresnelsche Integrale.
Übungen zu § 18 bis § 22. Vier Aufgaben 161
IT. Ton den Determinanten und den Vektoren nebst Anwendungen
§ 23. Über Determinanten 162
1. Allgemeines. 2. Determinanten 2. Ordnung. 3. Eigenschaften der Deter¬
minanten. 4. Anwendung. 5. Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten.
6. Determinanten 3. Ordnung. 7. Anwendungen.
§ 24. Fortsetzung. Auflösung linearer Gleichungen 169
1. Auflösung linearer Gleichungen mit drei Unbekannten. 2. Beispiele.
3. Determinanten beliebiger Ordnung. 4. Beispiele. 5. Multiplikationssatz
der Determinanten. 6. Beispiel. 7. Differential einer Determinante.
§ 25. Vektoren im Baume 176
I.Vorbemerkungen. 2. Erklärungen. 3. Multiplikation mit einem Zahlen¬
faktor. 4. Summe von Vektoren. 5. Grundvektoren. 6. Komponenten.
7. Länge und Richtungskosinus. 8. Komponentendarstellung des Vektors.
§26.Multiplikation von Vektoren 181
1. Inneres (skalares) Produkt. 2. Verteilungsgesetz. 3. Komponente eines
Vektors längs eines anderen. 4. Äußeres oder Vektor Produkt. 5. Kompo¬
nenten des Vektorprodukts. 6. Das Verteilungsgesetz. 7. Skalares Produkt
dreier Vektoren (Spatprodukt). 8. Volumen des Spates dreier Vektoren 21,
SB, (S.
8
§ 27. Anwendungen der Vektoren auf Geometrie 187
1. Verwandlung rechtwinkliger Koordinaten im Baume. 2. Beispiel. 3. Die
Gerade im Baume. 4. Die Ebene. 5. Abschnittsgleichung der Ebene.
6. Winkel zweier Ebenen. 7. Kürzester Abstand zweier windschiefer Ge¬
raden.
§28. Weitere Anwendungen der Vektoren auf Geometrie und
Mechanik 195
1. Arbeit. 2. Drehmoment. 3. Ableitung eines Vektors. 4. Raumkurven.
5. Bogenlänge. 6. Geschwindigkeit und Beschleunigung. 7. Beispiel 8. Tan
gential und Normalbeschleunigung. 9. Normalebene, Schmiegungsebene,
Hauptnormale. 10. Krümmung. 11. Windung. 12. Begleitendes Dreikant.
13. Schraubenlinie. 14. Vektor der Winkelgeschwindigkeit.
Übungen zu § 23 bis § 28. Dreizehn Aufgaben 203
Register 206
Etwas schwierigere Aufgaben sind durch f angemerkt.
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