Schattenpreise in der linearen Optimierung zur ökonomischen Interpretation optimaler Dualvariablen bei der Bewertung von Variationen primaler Ressourcenkapazitäten
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Aachen
Shaker
2003
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Abbildungsverzeichnis III
Symbolverzeichnis V
1 Einleitung 1
1.1 Untersuchungsgegenstand: Sensitivitätsanalyse in der linearen Optimierung . 1
1.2 Problemstellung: Schattenpreise für Variationen von Ressourcenkapazitäten . 5
1.3 Vorgehensweise: Forschungsziele und Ablauf der Analyse 10
2 Dualität und Komplementarität in der linearen Optimierung 13
2.1 Primales und duales Problem 13
2.1.1 Allgemeine Form und Produktionsprogrammplanung 13
2.1.2 Transportproblem: Offene und geschlossene Formulierungen 19
2.2 Dualitätsaussagen, Komplementarität und optimale Lösungen 26
2.2.1 Starke Dualität und komplementärer Schlupf 26
2.2.2 Optimalitätsbedingungen und Lösungsverfahren 35
2.2.3 Entartung und strenge Komplementarität 40
3 Einzelne Variationen der primalen rechten Seite 51
3.1 Parametrische Sichtweise: Optimalwertfunktion 52
3.1.1 Definition und Ermittlung 52
3.1.2 Partielle Ableitungen als Schattenpreise 64
I
3.2 Allgemeine Sichtweise: Optimale Menge des Dualen 72
3.2.1 Optimale Dualvariablen als Schattenpreise 72
3.2.2 Darstellung mittels Komplementaritätsbedingungen 79
3.3 Klassische Sichtweise: Optimale Basen 89
3.3.1 Optimale Basislösungen des Dualen als Schattenpreise 89
3.3.2 Berechnung von Variationsgrenzen mittels nichtoptimaler Basen ... 97
3.4 Moderne Sichtweise: Optimale Partitionen 108
3.4.1 Definition und Ermittlung 108
3.4.2 Schattenpreise und Toleranzbereich des Variationsparameters 116
4 Simultane Variationen und ökonomische Anwendungen 128
4.1 Kumulative Schattenpreise für die ungleichungsrestringierte Form 129
4.2 Besonderheiten bei Gleichungsrestriktionen 136
4.2.1 Sensitivitätsanalyse im geschlossenen Transportproblem 136
4.2.2 Auflösung des „More for less (MFL) Paradoxons 143
4.3 Weitere Auswirkungen von Entartung auf die ökonomische Interpretation . . 156
4.3.1 Redundanz innerhalb der Modellierung und der Problemlösung .... 156
4.3.2 Bewertung der Gesamtergebnisanteile einzelner Ressourcen 161
5 Schlußbetrachtungen 170
5.1 Zusammenfassung: Sensitivitätsanalyse in der linearen Optimierung 171
5.2 Ausblick: Weiterführende Postoptimalitätsanalysen 179
Literaturverzeichnis 186
II
Abbildungsverzeichnis
2.1 Beispiel Pl: Primale Lösung 18
2.2 Beispiel Pl: Duale Lösung 19
2.3 Beispiel P2: Primale Lösung 32
2.4 Beispiel P2: Duale Lösung 33
2.5 Beispiel P2: Strenge Komplementarität im Dualen 46
3.1 Beispiel Pl: Optimalwertfunktion 57
3.2 Beispiel P3: Primale Lösung 58
3.3 Beispiel P3: Duale Lösung 59
3.4 Beispiel P3: Optimalwertfunktion 60
3.5 Beispiel T3: Optimalwertfunktion 63
3.6 Beispiel P3: Schattenpreise und Toleranzbereich einer Kapazitätsvariation . . 69
3.7 Beispiel P3: Schattenpreise und Toleranzbereich einer Mindestmengenforderung 70
3.8 Beispiel P3: Supergradienten der Optimalwertfunktion 72
3.9 Einordnung der Sensitivitätsansätze: Parametrische versus Dualitäts Sichtweise 88
3.10 Beispiel P4: Primale Lösung 99
3.11 Beispiel P4: Kritischer Bereich optimaler Basen 101
3.12 Beispiel P4: Toleranzbereich mit Basenwechsel 105
3.13 Einordnung der Sensitivitätsansätze: Dualitäts versus Basen Sichtweise . . . 107
3.14 Einordnung der Sensitivitätsansätze: Dualitäts versus Partitions Sichtweise . 118
3.15 Beispiel P4: Kritischer Bereich der optimalen Partition 122
III
3.16 Beispiel P3: Kritische Bereiche benachbarter optimaler Partitionen 124
4.1 Beispiel T2: Primale Lösung 141
4.2 Beispiel T4: Primale Lösung 148
4.3 Beispiel P5: Primale Lösung 152
4.4 Beispiel P6: Primale Lösung 154
4.5 Beispiel P2: Schattenpreise versus Gesamtergebnisanteile 166
4.6 Beispiel P8: Primale Lösung 167
4.7 Beispiel P8: Schattenpreise versus Gesamtergebnisanteile 168
5.1 Einordnung der Sensitivitätsansätze: Gesamtübersicht 174
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