Grundlegende Algorithmen Einführung in den Entwurf und die Analyse effizienter Algorithmen
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|---|---|
| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Wiesbaden
Vieweg
2003
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| Ausgabe: | 2., verb. und erw. Aufl. |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Einleitung und Grundlagen 1
1.1 Ziele................................... 1
1.2 Einfahrendes Beispiel: Berechnung der Fibonacci-Zahlen...... 2
1.2.1 Rekursive Berechnung..................... 2
1.2.2 Iterative Berechnung...................... 5
1.2.3 Berechnung mit Hufe des iterierten Quadrierens ...... 6
1.3 Grundlagen............................... 10
1.3.1 Registermaschine (RAM)................... 10
1.3.2 Zeitkomplexität......................... 13
1.3.3 Platzkomplexität........................ 17
1.3.4 Beschreibungskomplexität................... 19
1.3.5 Landausche Symbole...................... 19
1.4 Übungsaufgaben............................ 24
Sortieren 27
2.1 Einfache Sortieralgorithmen...................... 27
2.1.1 Relationen, Ordnungen und Sortierungen.......... 27
2.1.2 Sortieren durch Auswahl.................... 29
2.1.3 Sortieren durch Einfügen................... 31
2.1.4 Verbessertes Sortieren durch Einfügen............ 33
2.2 Mergesort................................ 34
2.2.1 Rekursiver Mergesort ..................... 35
2.2.2 Analyse des rekursiven Mergesort............... 36
2.2.3 Iterativer Mergesort...................... 39
2.2.4 Analyse des iterativen Mergesort............... 40
2.3 Heapsort................................. 41
2.3.1
2.3.2 Implementierung von
2.3.3 Standard-Heapsort....................... 49
2.3.4 Analyse von Standard-Heapsort................ 51
2.3.5 Carlssons Variante von Heapsort............... 53
2.3.6 Bottom-Up-Heapsort...................... 56
2.4
2.4.1 Allgemeines Verfahren..................... 57
2.4.2
2.4.3
2.4.4 Varianten von
2.5
2.5.1 Prinzip............................. 67
2.5.2 Ansatz für eine allgemeine Analyse.............. 67
2.5.3 Analyse eines Spezialfalles................... 68
2.5.4 Analyse für allgemeinere Fälle ................ 70
2.6 Eine untere Schranke für das Sortieren................ 71
2.6.1 Entscheidungsbaum...................... 72
2.6.2 Maximale Anzahl von Vergleichen.............. 72
2.6.3 Mittlere Anzahl an Vergleichen................ 75
2.7 Bucketsort................................ 77
2.7.1 Das Universum [0 : N - 1]................... 77
2.7.2 Das Universum [0 : N - l]c.................. 78
2.7.3 Das Universum [0 : N - lj*.................. 80
2.7.4 Hinweise zur Implementierung ................ 82
2.8 Übungsaufgaben............................ 84
3 Selektieren 87
3.1 Quickselect...............................87
3.1.1 Ein partitionierender Algorithmus..............87
3.1.2 Analyse von Quickselect....................88
3.2 Ein linearer Selektionsalgorithmus..................90
3.2.1 Der BFPRT-Algorithmus...................90
3.2.2 Analyse des BFPRT-Algorithmus............... 92
3.3 Der Spinnen-Algorithmus....................... 95
3.3.1 Spinnen.............................95
3.3.2 Der Algorithmus........................ 96
3.3.3 Analyse des Algorithmus ................... 97
3.3.4 Die Spinnenfabrik.......................98
3.4 Eine untere Schranke.......................... 102
3.4.1 Ein Gegenspielerargument...................102
3.4.2 Mindestanzahl von Vergleichen im schlimmsten Falle .... 103
3.5 Ein randomisierter Median-Algorithmus...............105
3.5.1 Der Algorithmus........................ 105
3.5.2 Ein wenig Wahrscheinlichkeitstheorie............. 105
3.5.3 Analyse des randomisierten Algorithmus........... 113
3.6 Neuere Ergebnisse........................... 116
3.6.1 Algorithmen ..........................117
3.6.2 Untere Schranken........................117
3.7 Übungsaufgaben............................117
Suchen 119
4.1 Wörterbücher..............................119
4.2 Ausnutzen von Sortierung.......................120
4.2.1 Lineare Suche..........................120
4.2.2 Binare Suche..........................120
4.2.3
4.3
4.3.1 Hashfunktionen.........................122
4.3.2
4.3.3 Linear
4.3.4
4.3.5 Double
4.3.6 Universelle Hashfunktionen..................132
4.4 Binäre Suchbäume...........................134
4.4.1 Suchbaumeigenschaft......................134
4.4.2 Suchen und Einfügen im binären Suchbaum.........135
4.4.3 Löschen im binären Suchbaum................135
4.5 AVL-Bäume...............................137
4.5.1 Höhenbalancierung.......................137
4.5.2 Einfügen in einen AVL-Baum.................140
4.5.3 Löschen im AVL-Baum....................143
4.6 (o,6)-Bäume ..............................146
4.6.1 Definition............................147
4.6.2 Einfügen in einen (o,
4.6.3 Löschen im
4.7 Weitere Varianten von Suchbäumen .................151
4.7.1 Vielweg-Suchbäume......................151
4.7.2 Balancierte Suchbäume....................152
4.8
4.8.1 Einfügen und Löschen in
4.8.2 Implementierung von
4.9 Übungsaufgaben............................156
Graphen 157
5.1 Grundlagen der Graphentheorie....................157
5.1.1 Ungerichtete Graphen.....................157
5.1.2 Gerichtete Graphen......................160
5.1.3 Repräsentationen von Graphen................164
5.2 Traversieren von Graphen.......................166
5.2.1 Tiefensuche (DFS).......................166
5.2.2 Breitensuche (BFS) ......................169
5.2.3 Traversieren von Bäumen...................172
5.3 Zusammenhang von Graphen.....................173
5.3.1 Ungerichtete Graphen.....................173
5.3.2 Gerichtete Graphen......................173
5.4 Kürzeste Wege.............................178
5.4.1 Der Algorithmus von
5.4.2 Transitive Hülle von Graphen.................183
5.4.3 Der Algorithmus von Dijkstra.................186
5.4.4 Der Algorithmus von Dijkstra mit
5.5 Interludium:
5.5.1 Aufbau eines
5.5.2 Analyse von
5.6 Minimale Spannbäume.........................199
5.6.1 Der Algorithmus von
5.6.2 Der Algorithmus von Kruskal.................204
5.7 Interludium: Union-Find-Datenstrukturen..............206
5.7.1 Darstellung von Mengen durch Listen............206
5.7.2 Darstellung von Mengen durch Bäume............208
5.7.3 Pfadkompression........................210
5.8 Übungsaufgaben............................212
Texte 215
6.1 Alphabete und Zeichenketten.....................215
6.2 Der Algorithmus von Knuth, Morris und
6.2.1 Die Idee.............................216
6.2.2 Analyse des Algorithmus von Knuth, Morris und
6.2.3 Bestimmung eigentlicher Ränder...............219
6.3 Der Algorithmus von Boyer und Moore................221
6.3.1 Die Idee.............................221
6.3.2 Bestimmung der Shift-Tabelle.................224
6.3.3 Analyse des Algorithmus von Boyer und Moore.......226
6.4
6.4.1 Suffix-Tries...........................231
6.4.2 Suffix-Bäume..........................234
6.4.3 Suchen mit Suffix-Bäumen...................238
6.5 Interludium: Datenkompression....................239
6.5.1 Eine untere Schranke......................239
6.5.2 Huffman-Kodierung......................240
6.5.3 Lempel-Ziv-77.......................... 244
6.5.4 Lempel-Ziv-78 .........................245
6.5.5 Lempel-Ziv-Welch.......................246
6.5.6
6.6 Übungsaufgaben............................249
7 Arithmetik 251
7.1 Euklidischer Algorithmus.......................251
7.1.1 Grundalgorithmus.......................251
7.1.2 Erweiterte Version.......................253
7.1.3 Iterative Implementierungen..................255
7.1.4 Effiziente Implementierungen.................256
7.2 Modulare Arithmetik..........................258
7.2.1 Grundlagen...........................259
7.2.2 Modulare Gleichungen.....................262
7.2.3 Chinesischer Restsatz.....................263
7.2.4 Berechnung von Potenzen...................264
7.3 Primzahlen...............................265
7.3.1 Elementare Ergebnisse.....................266
7.3.2 Primzahltests..........................269
7.4 Interludium: Kryptographie......................273
7.4.1 Public-Key-Kryptographie...................273
7.4.2 Das RSA-Verfahren ......................275
7.4.3 Sicherheit des RSA-Verfahrens................276
7.5 Die schnelle Fouriertransformation..................277
7.5.1 Multiplikation von Polynomen................277
7.5.2 Eine alternative Methode zur Polynommultiplikation .... 278
7.5.3 Berechnung der Konvolution mittels FFT..........279
7.6 Multiplikation ganzer Zahlen.....................283
7.6.1 Analyse der Schuhnethode...................283
7.6.2 Ein Divide-and-Conquer-Algorithmus ............284
7.6.3 Analyse des Algorithmus von Karatsuba und Ofman .... 285
7.6.4 Verbesserung des Algorithmus von Karatsuba und Ofman . 287
7.7 Optimale Klammerung von Matrizenprodukten...........290
7.7.1 Einleitendes Beispiel......................290
7.7.2 Anzahl verschiedener Klammerungen.............290
7.7.3 Lösung mit dynamischer Programmierung..........293
7.8 Matrizenmultiplikation.........................294
7.8.1 Der Algorithmus von Strassen.................295
7.8.2 Analyse des Algorithmus von Strassen............296
7.8.3 Verbesserung des Algorithmus von Strassen.........297
7.8.4 Weitere Entwicklungen.....................300
7.8.5 Invertierung von Matrizen...................300
7.8.6 Transitive Hülle ........................303
7.9 Übungsaufgaben............................304
8 Schwierige Probleme 307
8.1 Unentscheidbarkeit........................... 307
8.1.1 Entscheidungsprobleme....................307
8.1.2 Abzählbarkeit..........................308
8.1.3 Gödelisierung..........................311
8.1.4 Universelle Registermaschinen.................313
8.1.5 Unentscheidbare Probleme ..................314
8.1.6 Die
8.2 AfP-Vollständigkeit...........................317
8.2.1 Die Klassen
8.2.2 Standard-Registermaschinen .................319
8.2.3 Reduktionen..........................321
8.2.4 jVP-harte und jVP-vollständige Probleme..........323
8.2.5 Erfüllbarkeitsproblem.....................325
8.2.6 Satz von Cook.........................327
8.2.7 Konjunktive Normalform und 3Sat.............331
8.2.8 Beispiele jVP-vollständiger Probleme.............333
8.3 Approximative Algorithmen......................339
8.3.1 Optimierungsprobleme und Approximationen........340
8.3.2 Die Klassen MVO und PO..................343
8.3.3 Die Klasse ÄPX ........................344
8.3.4 Die Klasse VTÄS........................345
8.3.5 Die Klasse FPTÄS.......................347
8.4 Übungsaufgaben............................353
A
A.l Lehrbücher zur Algorithmik......................355
A.2 Lehrbücher zu angrenzenden Themen ................356
A.3 Originalarbeiten ............................357
B Gofer-Skripten 359
B.l Berechnung von
C Index 361
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| author | Heun, Volker |
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