Elementare Kugelgeometrie mit numerischen und konstruktiven Methoden
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Vandenhoeck & Ruprecht
1949
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Vorwort III
Inhalt IV
ERSTER TEIL
Begriff, Ausmaße und wesentliche Eigenschaften der Kugel
1. Kapitel. Slereometrische Grundbegriffe
1. Punkt, Gerade und Ebene im Raum 1
2. Beziehungen zwischen den Grundbegriffen 3
3. Orthogonalität von Gerade und Ebene . 4
4. Projektion 7
5. Winkel im Raum 7
6. Winkel windschiefer Geraden 8
7. Winkel von Ebene und Gerade 9
8. Winkel von Ebene und Ebene 10
2. Kapitel. Ecken
1. Entstehung der dreiseitigen Ecke 11
2. Begriff der Ecke 12
3. Nebenecke, Scheitelecke 12
4. Polarecke 13
5. Ein einfaches Modell von Ecke und Polarecke 15
6. Summe der Seiten und Summe der Winkel einer Ecke 15
7. Sonderfälle von Ecken 18
8. Kongruenz dreiseitiger Ecken und ihre Konstruktion, 1. und 2. Fall . . 18
9. Kongruenz dreiseitiger Ecken ¦and ihre Konstruktion, 3. und 4. Fall . . 21
10. Symmetrische Ecken 22
11. Linksdrehende und rechtsdrehende Koordinatensysteme 24
12. Der Casus ambiguus 25
3. Kapitel. Begriff und Eigenschaften der Kugel
1. Definition der Kugel 28
2. Ausartungen der Kugel 29
3. Die Kugel als konvexer Körper 29
Inhalt V
4. Die Kugel ein Körper konstanter Breite 30
5. Kreisschnitte der Kugel 31
6. Krümmung der Kugel . 32
7. Beweglichkeit der Kugel . 33
8. Gleichung der Kugel 34
9. Kugel als geometrischer Ort 35
10. Groß-und Kleinkreise auf der Kugel 35
11. Tangenten der Kugel 37
12. Pol und Polare 38
13. Großkreise als geodätische Linien 41
14. Konstruktionen auf der Kugelfläche? • 42
15. Die Grundlagen der sphärischen Geometrie 44
4. Kapitel. Ausmaße der Kugel und ihrer Teile
1. Beziehung zwischen Oberfläche und Inhalt der Kugel 48-
2. Der Bauminhalt der Kugel 52 •
3. Zur Kritik des CAVALiEBlschen Prinzips 53
4. Bestimmung des Rauminhalts der Kugel durch Integration 56
5. Berechnung der Kugeloberfläche 56
6. Der Inhalt des Kugelzweiecks 61
7. Das Kugeldreieck oder sphärische Dreieck 62
8. Die Fläche des Kugeldreiecks , 66
9. Kugelkappe und Kugelzone. Kugelabschnitt und Kugelausschnitt . . 70
10. Minimal- und Maximaleigenschaft der Kugel 72
5. Kapitel. Einige und viele Kugeln
1. Umbeschriebene, einbeschriebene und anbeschriebene Kugeln des Tetra¬
eders 77
2. Regelmäßige Aufteilung der Kugeloberfläche 79
3. Ähnlichkeitspunkte zweier Kugeln 84
4. Ähnlichkeitspunkte von drei Kugeln 85
5. Ähnlichkeitspunkte von vier Kugeln 86
6. Potenz, Potenzebene, Potenzgerade, Potenzpunkt 89
7. Inversion in der Ebene 92
8. Inversion im Raum 95
9. Kugelbüschel, Kugelbündel und Kugelgebüsch 96
10. Kugelpackungen und Kreispackungen 100
11. Einige Kugelpackungen , 101
12. Raumgitter und Dichte der Kugelpackungen 103
6. Kapitel. Gerichteter Kreis und gerichtete Kugel
1. Gerichtete Gerade und gerichtete Ebene 106
2. Gerichteter Kreis und MÖBiusschee Kugeldreieck 108
3. Die gerichtete Kugel 111
4. Ähnlichkeitepunkte 113
VI Inhalt
ZWEITER TEIL
Trigonometrische Berechnungen von Kugeldreiecken
1. Kapitel, Ebene Trigonometrie
1. Winkelbegriff und Winkelmaß 116
2. Die trigonometrischen Funktionen 118
3. Einige Funktionswerte 119
4. Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen eines Winkels 121
5. Verhalten der Sinusfunktion für kleine Winkel 122
6. Additionstheoreme 123
7. Ausdrücke für doppelte und halbo Winkel 125
8. Summen und Differenzen trigonometrischer Funktionen 126
9. Berechnung des rechtwinkligen Dreiecks 127
10. Sinussatz und Kosinussatz 128
11. Inhaltsformeln 131
12. Die Berechnung des Dreiecks 131
13. MoLi/WEiDESche Formeln und Tangenssatz 132
14. Die Halbwinkelsätze . 134
2. Kapitel. Das rechtwinklige und das reehtseitige sphärische Dreieck
1. Die Formehl für das rechtwinklige Dreieck 135
2. Die NüPEBSche Regel 139
3. Das reehtseitige sphärische Dreieck 141
4. Das Pentagramm» mirificum 142
5. Die NEPBRsche Regel und das Pentagramma mirificum 145
6. Die Berechnung des rechtwinkligen sphärischen Dreiecks 146
7. Sätze über das rechtwinklige sphärische Dreieok 149
8. Die Berechnung des rechtseitigen sphärischen Dreiecks 149
3. Kapitel. Das schiefwinklige sphärische Dreieck. Sinussatz und Kosinussätze
1. Sinussatz 151
2. Die Kosinussätze 151
3. Koordinatentransformation im Raum 153
4. Winkelkosinussatz ohne Polareckensatz 184
5. Sinussatz und Seitenkosinussatz ohne NEFEssche Regel 165
6. NBPEBsche Regel als Folge von Sinussatz und Kosinussätzen. .... 158
7. Berechnung des schiefwinkligen sphärischen Dreiecks 169
4. Kapitel. Erweiterung des Formelsystems für das schiefwinklige sphärische Dreieck
1. Halbwinkelsätze 163
2. Halbseitensätze 165
3. Die MOLLWEiDEschen Formeln 167
4. Die NEPEBschen Analogien 168
fi. Nochmals Berechnung des schiefwinkligen sphärischen Dreiecks ... 169
«. Beziehungen zwisohen sphärischer und ebener Trigonometrie . . ¦ . 1«9
Inhalt VII
7. Das Analogon des Projektionssatzes 172
8. Inkreis und Umkreis des sphärischen Dreiecks 173
9. Der Seitenkosinussatz als Grundforcnel 176
10. Sinussatz und Kosinussätze für MÖBiussohe Dreiecke 178
11. Verallgemeinerungen 182
DRITTER TEIL
Zeichnerische Methoden zur Lösung von Aufgaben auf der Kugelflache
1. Kapitel. Senkrechte Parallelprojektion
1. Die Grundriß-Aufrißmethode 183
2. Das rechtwinklige sphärische Dreieck 186
3. Konstruktionen rechtwinkliger sphärischer Dreiecke 188
4. Die NEPBKsohe Regel 190
5. Das rechtseitige sphärische Dreieck 191
6. Das beliebige sphärische Dreieck: Konstruktion der Ecken 192
7. Das beliebige sphärische Dreieck: Darstellung der Stücke des durch die
Ecken gegebenen Dreiecks 196
8. Sinussatz und Seitenkosinussatz 196
2. Kapitel. Stereographische Projektion
1. Verfahren der stereographischen Projektion 197
2. Die stereographische Projektion ist winkeltreu 200
3. Die stereographische Projektion ist kreistreu 201
4. Grundkonstruktionen 202
5. Dreieckskonstruktionen 204
6. Sinussatz und Kosinussätze 20S
3. Kapitel. Gnomonische Projektion
1. Verfahren der gnomonischen Projektion 208
2. Gnomonische Projektion und dreiseitige Ecke 209
3. Gnordonische Projektion und Kosinussatz 210
4. Gnomonische Projektion, Netzkonstruktion und Sinussatz 211
5. Zwei Konstruktionen in der gnomonischen Bildebene 212
6. Dreieckskonstruktionen in der gnomonischen Bildebene 214
4. Kapitel. Zweibild-Verfahren
1. Grundriß- und Aufriß-Verfahren 215
2. Grundriß- und Seitenriß-Verfahren 218
3. Orthogonales Drehnomogramm des Kugeldreiecks 222
4. Stereographisches Drehnomogramm des Kugeldreiecks 223
5. Stereoskopbilder und Anaglyphen 223
6. Zur Theorie der Anaglyphen 225
7. Zur Praxis der Anaglyphen 226
8. Das Sehen 226
VIII Inhalt
VIERTER TEIL
Mathematische Erd- und HimmeUkunde
1. Kapitel. Die Erdkugel
1. Der Erdkörper 229
2. Linien auf der Erdkugel 233
3. Rechnerische Behandlung des terrestrischen Dreiecks 235
4. Zeichnerische Behandlung des terrestrischen Dreiecks 236
6. Weitere Aufgaben 288
2. Kapitel. Kartenkunde
1. Drei Forderungen 239
2. Kegel- und Zylinderkarten 244
3. Flachentreuer Kartenentwurf . . 246
4. Merkatorentwurf 248
ß. Gleichung der Loxodrome 261
6. Globularentwurf 264
3. Kapitel. Die Himmeltkugel
1. Die Himmelskugel 266
2. Das Horizontalsystem 267
3. Das Äquatorialsystem 263
4. Die Zeitmessung 260
6. Breitenbestimmung 265
6. Andere Koordinatensysteme 267
4. Kapitel. Aufgangsdreieck und Poldreieck am ersten Vertikal
1. Aufgangsdreieck 270
2. Berechnung des Aufgangsdreiecks 272
3. Ein rechtseitiges Aufgangsdreieck 274
4. Konstruktionen des rechtwinkligen Aufgangsdreiecks nach der Ein-
tafelmethode 276
5. Konstruktionen des rechtwinkligen Aufgangsdreiecks in stereo¬
graphischer Projektion 277
6. Aufgangsdreieck und gnomonische Projektion 278
7. Das Poldreieck am rechten Vertikal 278
5. Kapitel. Das nautische Dreieck
1. Nautisches Dreieck 279
2. Berechnung des nautischen Dreiecks 280
3. Konstruktionen des nautischen Dreiecks nach der Eintafelmethode. . 282
4. Konstruktion des nautischen Dreiecks in stereographischer Projektion . 284
5. Das nautische Dreieck in gnomonischer Projektion 286
6. Nomographische Lösungen mit Schablonen 286
Schlußwort 288
Zur Literatur 290
Namenverzeichnis 291
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