Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singulär gestörten Gebieten 2 Nichtlokale Störungen
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Teil V: Randwertaufgaben in Gebieten, die in der Nähe mehrdimensionaler Singularitäten gestört
sind
11. Randwertaufgaben in Gebieten mit Kanten 11
11.1. Das Dirichlet-Problem für den Laplace-Operator 11
11.1.1. Aufgabenstellung 11
11.1.2. Eine Modellaufgabe im Raumkeil 12
11.1.3. Die Randwertaufgabe im Gebiet mit einer Kante 16
11.2. Das Neumann-Problem für den Laplace-Operator 17
11.2.1. Aufgabenstellung 17
11.2.2. Modellaufgaben 17
11.2.3. Lösbarkeit des Neumann-Problems 22
11.2.4. Eine Aufgabe in einem Gebiet mit einer herausgeschnittenen Kurve 22
11.3. Asymptotik der Lösungen der Randwertaufgaben für den Laplace-Operator in der
Nähe einer Kante 23
11.3.1. Abschätzungen der Ableitungen der Lösung entlang der Kante 23
11.3.2. Asymptotik der Lösung des Dirichlet-Problems 24
11.3.3. Asymptotik der Lösung des Neumann-Problems 26
11.3.4. Asymptotik der Lösung des Randwertproblems in einem Gebiet mit einer heraus¬
geschnittenen Kurve 26
11.4. Sobolewsche Aufgaben 27
11.4.1. Aufgabenstellung 27
11.4.2. Lösbarkeit der Aufgabe 27
11.4.3. Asymptotik der Lösung 28
12. Asymptotik der Lösungen der klassischen Randwertaufgaben in Gebieten mit engen
Hohlräumen 29
12.1. Asymptotik der Lösung des Neumann-Problems im Äußeren einer dünnen Röhre 29
12.1.1. Aufgabenstellung 29
12.1.2. Hauptglieder der Asymptotik 31
12.1.3. Die vollständige asymptotische Entwicklung der Lösung des Neumann-Problems . 36
12.2. Asymptotik der Lösung des Dirichlet-Problems im Äußeren einer dünnen Röhre . 40
12.2.1. Aufgabenstellung und das Grenzschichtglied 41
12.2.2. Die Integralgleichung auf der Kurve M 42
12.2.3. Begründung der Asymptotik 45
12.2.4. Asymptotik der Kapazität eines schmalen torusförmigen Gebietes 47
12.3. Über den Spannungs- und Deformationszustand eines elastischen Raumes mit einer
schmalen torusförmigen Einschließung 48
12.3.1. Aufgabenstellung 48
6 Inhalt
12.3.2. Vorbereitende Bemerkungen 49
12.3.3. Asymptotik der Lösung 52
12.4. Asymptotik der Lösung des Dirichlet-Problems in ebenen Gebieten mit einem
schmalen Spalt 54
12.4.1. Aufgabenstellung 55
12.4.2. Eine Aussparung mit zusammenfließenden Ufern 55
12.4.3. Eine schmale Kerbe mit glattem Rand 57
12.4.4. Eine Bemerkung zur Verwendung der Resultate des Kapitels 4 61
12.5. Asymptotik der Lösung des Dirichlet-Problems in dreidimensionalen Gebieten mit
einem schmalen Spalt 62
12.5.1. Aufgabenstellung 63
12.5.2. Asymptotik der Lösung außerhalb einer Umgebung des Spaltes Q, 63
12.5.3. Die ebene Grenzschicht 64
12.5.4. Konstruktion der Funktion y 65
12.5.5. Die Grenzschicht in der Nähe der Endpunkte des Spaltes (erstes Glied) .... 68
12.5.6. Die Grenzschicht in der Nähe der Endpunkte des Spaltes (zweites Glied) .... 69
12.5.7 Begründung der Asymptotik 72
12.5.8. Asymptotik der Kapazität des „Ellipsoids Qr 75
12.5.9. Der Fall eines Rotationsellipsoids 75
12.6. Glättung des Randes in der Nähe einer Kante 77
12.6.1. Das Gebiet 77
12.6.2. Das Hauptglied der Asymptotik 78
12.6.3. Die vollständige asymptotische Entwicklung 79
13. Asymptotik der Lösungen des Dirichlet-Problems für Gleichungen höherer Ordnung
in Gebieten mit einer herausgeschnittenen dünnen Röhre 82
13.1. Aufgabenstellung 83
13.2. Der Fall nichtkritischer Dimension 84
13.3. Der Fall kritischer Dimension (Entwicklung nach Potenzen von (log e) 1) .... 88
13.4. Der Fall kritischer Dimension (Entwicklung nach Potenzen von e) 95
13.4.1. Die Gestalt der asymptotischen Entwicklung 95
13.4.2. Die Struktur der formalen Reihe 96
13.4.3. Die asymptotische Invertierung des Operators At löge + A2 + Ä 98
13.4.4. Die asymptotische Potenzreihe für die Lösung 102
13.4.5 Über das Dirichlet-Problem für harmonische Funktionen im Äußeren einer Röhre . 105
Teil VI: Randwertaufgaben in Gebieten mit schmalen Verbindungsstücken und in schmalen
Gebieten
14. Das Dirichlet-Problem in Gebieten mit schmalen Verbindungsstücken 109
14.1. Das Hauptglied der Asymptotik der Lösung 111
14.1.1. Aufgabenstellung (Die Annäherung zweier Punkte auf glatten Oberflächen) . . . 111
14.1.2. Die Grenzaufgabe 111
14.1.3. Asymptotik der Lösung der Ausgangsaufgabe 115
14.2. Die vollständigen asymptotischen Entwicklungen der Lösungen 117
14.2.1. Der Fall eines „quasizylindrischen Gebietes 117
14.2.2. Asymptotik der Lösung des Dirichlet-Problems 119
14.3. Asymptotik der Lösung bei nicht glatten rechten Seiten 120
14.3.1. Die zweite Grenzaufgabe 120
14.3.2. Asymptotik der Lösung 122
Inhalt 7
14.4. Verbindungsstücke anderer Form 126
14.4.1. Zwei zusammenlaufende konische Punkte 126
14.4.2. Das „Haftenbleiben von Komponenten des Randes an einer „großen Menge . . 128
14.5. Asymptotik der Kapazität eines Kondensators 129
14.5.1. Das „Haftenbleiben von Komponenten des Randes an einem Punkt 129
14.5.2. Andere Kondensatoren 131
14.5.3. Die vollständige Asymptotik für die Kapazität 134
15. Randwertaufgaben der mathematischen Physik in schmalen Gebieten 136
15.1. Randwertaufgaben für den Laplace-Operator in schmalen Rechtecken 136
15.1.1. Aufgabenstellung 136
15.1.2. Asymptotik der Lösung des Dirichlet-Problems 137
15.1.3. Asymptotik der Lösung der gemischten Randwertaufgabe 138
15.2. Das Hauptglied der Asymptotik der Lösung einer Randwertaufgabe für ein System
von Gleichungen zweiter Ordnung in Zylindern kleiner Höhe 141
15.2.1. Aufgabenstellung 142
15.2.2. Hilfskonstruktionen 143
15.2.3. Asymptotik der Lösung 145
15.2.4. Eigenschaften des Grenzoperators 147
15.2.5. Die eindeutige Lösbarkeit der Grenzaufgabe 148
15.2.6. Begründung der asymptotischen Entwicklung der Lösung 149
15.3. Anwendung auf konkrete Randwertaufgaben 153
15.4. Antiplanare Verschiebung und die Strömung idealer Flüssigkeiten in schmalen
Gebieten mit einem Längsriß 157
15.4.1. Aufgabenstellung 157
15.4.2. Der zweidimensionale Fall 158
15.4.3. Die Grenzschichtglieder 159
15.4.4. Eine zusätzliche Grenzaufgabe und die Asymptotik der Intensitätsfaktoren . . . 161
15.4.5. Der dreidimensionale Fall 162
15.4.6. Beispiele 163
15.5. Intensitätsfaktoren für nahe beieinanderliegende parallele Risse 165
15.5.1. Aufgabenstellung 166
15.5.2. Asymptotik der Lösung innerhalb und außerhalb des schmalen Streifens zwischen
den Rissen 166
15.5.3. Die Grenzschichtglieder in der Nähe der Rißenden 167
15.5.4. Abschätzung des Restgliedes in der Asymptotik 170
15.5.5. Asymptotik der Intensitätsfaktoren 171
15.5.6. Gegeneinander verschobene Risse 173
16. Allgemeine elliptische Randwertaufgaben in schmalen Gebieten 175
16.1. Die Grenzaufgaben 176
16.1.1. Aufgabenstellung 176
16.1.2. Die Struktur der Differentialoperatoren 177
16.1.3. Elliptizitätsbedingungen 178
16.1.4. Die erste Grenzaufgabe 178
16.1.5. Die zweite Grenzaufgabe 179
16.1.6. Die dritte Grenzaufgabe 181
16.2. Die asymptotische Struktur der Lösungen 184
16.2.1. Die Fredholm-Eigenschaft der Ausgangsaufgabe 184
16.2.2. Der Fall der eindeutigen Lösbarkeit der Grenzaufgaben 187
8 Inhalt
16.2.3. Lösungen der dritten Grenzaufgabe 190
16.2.4. Asymptotik im Fall K + Kk 0 192
16.3. Beispiele 196
16.4. Durchbiegung einer dünnen Platte 200
16.4.1. Aufgabenstellung 200
16.4.2. Die ersten zwei Grenzaufgaben 201
16.4.3. Eine zusätzliche Grenzaufgabe 202
16.4.4. Die Grenzschicht 203
16.4.5. Randbedingungen in der dritten Grenzaufgabe 209
16.4.6. Asymptotik der Lösung 210
Teil VII: Randwertaufgaben mit Oszillationen der Koeffizienten der Gleichungen oder des Randes
des Gebietes
17. Elliptische Randwertaufgaben mit schnell oszillierenden Koeffizienten 211
17.1. Mittelung der Differentialgleichung 211
17.1.1. Aufgabenstellung 211
17.1.2. Die Grenzaufgabe auf der Periodizitätszelle 212
17.1.3. Die gemittelte Gleichung 213
17.1.4. Die asymptotische Reihe 215
17.2. Die Grenzschicht. Das Dirichlet-Problem 216
17.2.1. Die Randwertaufgabe für das Grenzschichtglied 216
17.2.2. Die Abklingbedingungen für das Grenzschichtglied 218
17.3. Die Grenzschicht. Das Neumann-Problem 222
17.4. Begründung der asymptotischen Entwicklungen 225
17.5. Über elliptische Randwertaufgaben mit periodischen Koeffizienten in einem Zylinder 228
17.5.1. Eine Modellaufgabe im Zylinder 228
17.5.2. Eine Aufgabe mit einem komplexen Parameter 229
17.5.3. Ein Analogon zur Fourier-Transformation 230
17.5.4. Die eindeutige Lösbarkeit der Modellaufgabe 232
17.5.5. Asymptotik der Lösung 233
18. Paradoxa des Grenzübergangs in den Lösungen von Randwertaufgaben bei der
Approximation glatter Gebiete durch Polygone 235
18.1. Approximation einer frei gelagerten konvexen Platte 236
18.1.1. Aufgabenstellung und Charakterisierung der Resultate 236
18.1.2. Formale Asymptotik 237
18.1.3. Begründung der Asymptotik 241
18.1.4. Vorgabe der Momente in den Eckpunkten der Polygone 244
18.2. Approximation einer Öffnung in einer frei gelagerten Platte 247
18.2.1. Aufgabenstellung 247
18.2.2. Asymptotik der Lösung für die Platte mit polygonal berandeter Öffnung .... 248
18.2.3. Vorgabe der in den Eckpunkten des Polygons konzentrierten Drehmomente . . . 250
18.3. Übergang zu den Bedingungen der festen Einspannung 251
19. Mittelung eines Differentialoperators auf einem feinmaschigen periodischen krumm¬
linigen Netz 257
19.1. Die Randwertaufgabe auf dem Netz 257
19.1.1. Das Netz S 257
19.1.2. Das Netz Sc 258
Inhalt 9
19.2. Hauptglied der asymptotischen Entwicklung 259
19.2.1. Formale Asymptotik 259
19.2.2. Begründung der Asymptotik 261
19.2.3. Asymptotik der Lösung instationärer Aufgaben 264
19.3. Berechnung und Eigenschaften der Koeffizienten des gemittelten Operators . . . 265
19.3.1. Bestimmung der Koeffizienten des gemittelten Operators 265
19.3.2. Die Elliptizität des gemittelten Operators 267
19.3.3. Beispiele für die Konstruktion des gemittelten Operators 268
19.4. Konstruktion der vollständigen asymptotischen Entwicklung 271
19.4.1. Asymptotik der Lösung außerhalb einer Umgebung des Randes 271
19.4.2. Konstruktion des Grenzschichtgliedes 272
19.4.3. Bestimmung der Konstanten in der Asymptotik der Lösung der Aufgabe für die
Grenzschicht 275
19.5. Asymptotik der Lösung einer Randwertaufgabe auf in einem Zylinder eingeschlos¬
senen Netzen 276
19.5.1. Die Randwertaufgabe im Zylinder 276
19.5.2. Die Randwertaufgabe auf einer Zelle 277
19.5.3. Die asymptotische Entwicklung der Lösung der Aufgabe im Zylinder 279
20. Mittelung von Gleichungen auf einem feinen periodischen Gitter 280
20.1. Mittelung von Differenzengleichungen 280
20.1.1. Ein Gitter im R und die Menge der Wechselwirkungen seiner Punkte 280
20.1.2. Aufgabenstellung 282
20.1.3. Lösbarkeit der Randwertaufgabe 282
20.1.4. Hauptglieder der Asymptotik 283
20.1.5. Asymptotik der Lösung des instationären Problems 285
20.2. Berechnung und Eigenschaften der Koeffizienten des gemittelten Operators . . . 286
20.3. Kristallgitter 289
20.3.1. Die Gleichungen der Elastizitätstheorie 289
20.3.2. Beispiele für die Konstruktion des gemittelten Operators 290
Kommentare 294
Literaturverzeichnis 297
Inhaltsübersicht zu Band I 310
Symbolverzeichnis 313
Sachverzeichnis 316
Berichtigungen zu Band I 319
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| spellingShingle | Mazʹja, Vladimir Gilelevič 1937- Nazarov, Sergej A. Plamenevskij, Boris A. Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singulär gestörten Gebieten |
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| title_alt | Asimptotika rešenij elliptičeskich kraevych zadač pri singuljarnych vozmuščenijach oblasti |
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| title_full | Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singulär gestörten Gebieten 2 Nichtlokale Störungen von W. G. Mazja, S. A. Nasarow und B. A. Plamenewski |
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