Einführung in die höhere Mathematik 2
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Jena
Fischer
1991
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| Ausgabe: | 2., überarb. Aufl. |
| Schriftenreihe: | UTB für Wissenschaft : Große Reihe
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I.
Grundbegriffe der
Analysis
und
Topologie
1. Mengentheoretische Hilfsmittel ............................................. 13
1.1. Elemente und Mengen.................................................. 13
1.2. Operationen auf Mengen................................................ 16
1.3. Mengenprodukte....................................................... 21
1.4. Mengenfolgen und Mengenfamilien....................................... 23
1.5. Mengensysteme........................................................ 25
1.6. Übungsaufgaben....................................................... 27
2. Relationen und Abbildungen................................................ 28
2.1. Relationen............................................................ 28
2.2. Operationen auf Relationen ............................................. 30
2.3. Abbildungen .......................................................... 33
2.4. Äquivalenzrelationen................................................... 37
2.5. Ordnungsrelationen .................................................... 39
2.6. Boolesche Algebra ....................................................... 44
2.7. Schaltalgebra.......................................................... 46
2.8. Übungsaufgaben....................................................... 49
3.
Topologische
Bäume....................................................... 51
3.1. Begriff des topologischen Raumes........................................ 51
3.2. Basen. Hausdorff-Räume ............................................... 56
3.3. Stetige Abbildungen.................................................... 59
3.4. Konvergenz........................................................... 62
3.5. Produkttopologien ..................................................... 64
3.6. Kompaktheit.......................................................... 66
3.7. Lineare
topologische
Räume............................................. 69
3.7.1. Lineare Räume .............................................., . . . 69
3.7.2. Lineare
topologische
Räume....................................... 71
3.8. Übungsaufgaben....................................................... 74
4. Metrische Bäume.......................................................... 76
4.1. Begriff des metrischen Raumes .......................................... 76
4.2. Konvergenz und Stetigkeit.............................................. 82
4.3. Kompaktheit und Separabilität.......................................... 86
4.4. Übungsaufgaben....................................................... 89
8 Inhalt
5. Normierte Bäume.......................................................... 90
5.1. Begriff des normierten Raumes .......................................... 90
5.2. Banaehräume ......................................................... 97
5.3. Hilberträume.......................................................... 99
5.4. Übungsaufgaben....................................................... 105
6. Die Bäume Rn und K ..................................................... 106
6.1. Der Raum Rn ......................................................... 106
6.2. Konvexe Mengen im Iin ................................................ 109
6.3. Der Raum Kn ......................................................... 116
6.4. Übungsaufgaben....................................................... 117
IL
Lineare Algebra
7. Vektorräume.............................................................. 118
7.1. Grundbegriffe ......................................................... 118
7.2. Basis eines Vektorraumes ............................................... 120
7.3. Unterräume. Lineare Mannigfaltigkeiten .................................. 125
7.4. Faktorräume.......................................................... 133
7.5. Übungsaufgaben....................................................... 135
8. Lineare Abbildungen....................................................... 136
8.1. Lineare Funktionale.................................................... 136
8.2. Lineare Abbildungen von Vektorräumen in Vektorräume ................... 138
8.3. Lineare Funktionen l: Rn -> Rm......................................... 142
8.4. Lineare Operatoren .................................................... 144
8.5. Übungsaufgaben........................................................ 145
9. Matrizen................................................................... 145
9.1. Begriff der Matrix ..................................................... 145
9.2. Rechenoperationen..................................................... 151
9.3. Spezielle Matrizen...................................................... 156
9.3.1. Quadratische Matrizen............................................ 156
9.3.2. Orthogonale Matrizen............................................. 159
9.3.3. Zerlegung einer Matrix in Teilmatrizen (Partitionierung).............. 159
9.4. Lineare Abbildungen und Matrizen....................................... 161
9.5. Rang einer Matrix ..................................................... 165
9.6.
Inverse
einer Matrix ...............,................................... 168
9.7. Lineare Vierpole ....................................................... 169
9.8. Zur Anwendung der Matrizenrechnung in der Betriebswirtschaft............. 175
9.9. Übungsaufgaben....................................................... 179
10. Lineare Gleichungen ....................................................... 179
10.1. Homogene und inhomogene Systeme ..................................... 179
10.2. Lösungsstruktur von Gleichvmgssystemen ................................. 183
10.3. Gaußscher Algorithmus................................................. 187
10.4. Übungsaufgaben....................................................... 191
Inhalt 9
11. Determinanten ............................................................ 192
11.1. Begriff der Determinante ............................................... 192
11.2. Eigenschaften von Determinanten ....................................... 198
11.3. Entwicklungssätze ..................................................... 201
11.4. Rang einer Matrix ..................................................... 204
11.6. Cramersche Regel...................................................... 205
11.6. Zur Berechnung der
inversen
Matrix ..................................... 208
11.7. Übungsaufgaben....................................................... 211
12. Das Eigenwertproblem ..................................................... 213
12.1. Eigenwerte und Eigenvektoren .................,........................ 213
12.2. Ähnliche Matrizen ..................................................... 218
12.3. Das Eigenwertproblem für hermitesche und symmetrische Matrizen .......... 221
12.4. Diagonalisierung symmetrischer Matrizen ................................. 226
12.5. Das Eigenwertproblem für reelle, nichtsymmetrische Matrizen............... 227
12.6. Übungsaufgaben....................................................... 227
13. Quadratische Formen...................................................... 229
13.1. Bilinearformen und quadratische Formen ................................. 229
13.2.
Definite
quadratische Formen ........................................... 234
13.3. Geometrische Deutung der quadratischen Formen.......................... 237
13.4. Die Gramsche Determinante ............................................ 239
13.5. Übungsaufgaben....................................................... 240
Ш.
Funktionen von mehreren Veränderlichen
14. Der Funktionsbegrifi....................................................... 242
14.1. Vorbetrachtungen...................................................... 242
14.2. Funktionen/: Rn->
R
.................................................. 243
14.3. Funktionen/:
R
-> Rn ................................................. 245
14.4. Funktionen/: Rn -> Rm ................................................ 247
14.6. Räumliche Koordinatensysteme ......................................... 249
14.5.1. Zylinderkoordinaten............................................. 249
14.5.2. Kugelkoordinaten............................................... 250
14.6. Übungsaufgaben....................................................... 252
15. Grenzwert und Stetigkeit................................................... 253
15.1. Grenzwert einer Funktion............................................... 253
15.2. Iterierte Grenzwerte.................................................... 258
15.3. Stetigkeit einer Funktion ............................................... 259
15.4. Halbstetigkeit einer Funktion ........................................... 264
15.5. Übungsaufgaben....................................................... 2G6
16. Konvexe Funktionen....................................................... 268
16.1. Eigenschaften konvexer Funktionen...................................... 268
16.2. Stetigkeit konvexer Funktionen ......................................... 272
16.3. Übungsaufgaben....................................................... 274
10 Inhalt
IV.
Differentialrechnung für Funktionen
топ
mehreren Veränderlichen
17.
Diíferenzierbare
Funktionen................................................ 275
17.1. Begriff der partiellen Ableitung.......................................... 275
17.2. Partielle Ableitungen höherer Ordnung ................................... 278
17.3. Begriff der differenzierbaren Funktion.................................... 283
17.4. Übungsaufgaben....................................................... 291
18.
Diíferenzierbare
Funktionen (Fortsetzung)................................... 292
18.1. Das Rechnen mit differenzierbaren Funktionen............................ 292
18.2. Anwendung des vollständigen Differentials................................ 299
18.2.1. Zur geometrischen Deutung des vollständigen Differentials ........... 299
18.2.2. Anwendung des vollständigen Differentials in der Fehlerrechnung ..... 299
18.2.3. Anwendung von Differentialen in der Thermodynamik............... 303
18.3. Richtungsableitung .................................................... 306
18.4. Mehrfach differenzierbare Funktionen .................................... 309
18.5. Differentiale höherer Ordnung........................................... 310
18.6. Differenzier barkeit konvexer Funktionen ................................. 311
18.7. Zur Differentiation einer Determinante ................................... 314
18.8. Übungsaufgaben....................................................... 315
19. Mittelwertsatz und Taylorsche Formel....................................... 318
19.1. Mittelwertsatz......................................................... 318
19.2. Taylorsche Formel ..................................................... 320
19.3. Übungsaufgaben....................................................... 325
20. Implizite Funktionen....................................................... 326
20.1. Implizit definierte reellwertige Funktionen ................................ 326
20.2. Implizit definierte vektorwertige Funktionen.............................. 331
20.3. Implizite Differentiation implizit definierter Funktionen .................... 334
20.4.
Inverse
Abbildungen ................................................... 338
20.5. Funktionale Abhängigkeit .............................................. 344
20.6. Übungsaufgaben....................................................... 348
21. Extremwertaufgaben....................................................... 351
21.1. Extremwertaufgaben ohne Restriktionen.................................. 351
21.2. Extremwertaufgaben mit Restriktionen................................... 362
21.3. Übungsaufgaben....................................................... 373
22.
Diïîerentialoperatoren
der
Vektoranalysis
.................................... 375
22.1. Skalarfelder und Vektorfelder ........................................... 375
22.2. Der Gradient eines Skalarfeldes.......................................... 376
22.3. Die Divergenz eines Vektorfeldes ........................................ 380
22.4. Die Rotation eines Vektorfeldes ......................................... 385
22.5. Wiederholte Anwendung des Operators
V
................................ 387
22.6. Krummlinige Koordinaten .............................................. 390
22.7. Übungsaufgaben....................................................... 399
Inhalt 11
V.
Integralrechnung für Funktionen
топ
mehreren Veränderlichen
23. Parameterintegrale......................................................... 401
23.1- Begriff des Parameterintegrals........................................... 401
23-2. Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Parameterintegralen ................. 404
23.3. Integration von Parameterintegralen ..................................... 407
23.4. Gleichmäßige Konvergenz............................................... 410
23.4.1. Gleichmäßige Konvergenz einer Funktion .......................... 410
23.4.2. Gleichmäßige Konvergenz von Integralen.......................... 411
23.4.3. Eigenschaften gleichmäßig konvergenter uneigentlicher Parameter¬
integrale ....................................................... 413
23.5. Die Eulersche Gammafunktion .......................................... 415
23.6. Übungsaufgaben....................................................... 419
24. Kurvenintegrale............................................................ 421
24.1. Parameterdarstellung von Raumkurven................................... 421
24.2. Kurvenintegrale erster Art.............................................. 423
24.3. Kurvenintegrale zweiter Art............................................. 429
24.4. Unabhängigkeit des Kurvenintegrals zweiter Art vom Weg.................. 434
24.5. Ermittlung des Potentials u(x) eines Potentialfeldes v(x) .................... 440
24.6. Kurvenintegrale in der Thermodynamik .................................. 444
24.7. Vektorielle Kurvenintegrale ............................................. 447
24.8. Zusammenhang zwischen Kurvenintegralen erster und zweiter Art ........... 449
24.9. Übungsaufgaben....................................................... 451
25. Ebene Bereichsintegrale.................................................... 453
25.1. Meßbare Punktmengen ................................................. 453
25.2. Begriff und Eigenschaften des ebenen Bereichsintegrala..................... 455
25.3. Zurückführung ebener Bereichsintegrale auf Doppel integrale ................ 459
25.4. Einige weitere Anwendungen ebener Bereichsintegrale ...................... 463
26.5. Transformation ebener Bereichsintegrale.................................. 466
25.6. Uneigentliche ebene Bereichsintegrale .................................... 470
25.7. Zusammenhang zwischen ebenen Bereichsintegralen und Kurvenintegralen
(Satz von Gatjss) ...................................................... 474
25.8. Übungsaufgaben....................................................... 477
26. Räumliche Bereichsintegrale................................................ 480
26.1. Begriff und Eigenschaften des räumlichen Bereichsintegrals ................. 480
26.2. Zurückführung räumlicher Bereichsintegrale auf Dreifachintegrale............ 482
26.3. Anwendungen räumlicher Bereichsintegrale ............................... 485
26.4. Transformation räumlicher Bereichsintegrale .............................. 489
26.5. Uneigentliche räumliche Bereichsintegrale................................. 495
26.6. Übungsaufgaben....................................................... 498
27. OberfJächenintegrale....................................................... 501
27.1. Parameterdarstellung von Flächen im Raum .............................. 501
27.2. Orientierbare Flächen. Oberflächenelement................................ 508
27.3. Oberflächenintegrale erster Art .......................................... 514
27.4. Oberflächenintegrale zweiter Art......................................... 520
27.5. Übungsaufgaben....................................................... 524
12 Inhalt
28. Integralsätze der
Vektoranalysis
............................................ 526
28.1. Der Gaußsche Integralsatz .............................................. 526
28.2. Der Stokessche Integralsatz ............................................. 532
28.3. Die Greenschen Integralsätze............................................ 538
28.4. Übungsaufgaben....................................................... 541
Lösungen.......................................................................... 545
Literatur........................................................................... 571
Namenverzeichnis.................................................................. 573
Sachverzeichnis.................................................................... 574
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