Einführung in die Struktur- und Darstellungstheorie der klassischen Gruppen
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Kapitel I. Die klassischen Gruppen 1
§ 1 Grundlagen der allgemeinen Gruppentheorie 2
1. Grundbegriffe 2
2. Beispiele und Ergänzungen 5
3. Operationen von Gruppen auf Mengen 9
4. Beispiele und Ergänzungen 11
Aufgaben 15
§ 2 Die allgemeine und die spezielle lineare Gruppe 16
1. Die Algebra Mat(n, K) 16
2. Die Gruppen GL(n, K) und SL(n, K) 18
3. Die gewöhnliche Operation von GL(n, K) 19
4. Jordan-Chevalley-Zerlegung in GL(n, K) 20
5. Erzeugung von SL(n, K) durch Elementarmatrizen 22
6. Kommutatorgruppe von GL(n, K) und SL(n, K) 24
7. Zentrum von GL(n, K) und SL(n, K), projektive Gruppen 25
8. Normalteiler in SL(2, K) 28
9. Zusammenhang 29
10. Quaternionen, die Gruppen GL(n, H) und SL(n, H) 31
Aufgaben 36
§ 3 Symmetrische Bilinearformen und Hermitesche Formen 37
1. Hermitesche Formen und Matrizen 37
2. Isometrien Hermitescher Räume 40
3. Orthogonalität, Normalformen 41
4. Euklidische und unitäre Räume 45
5. Isometriegruppen Hermitescher Räume 48
Aufgaben 49
§ 4 Orthogonale und unitäre Gruppen 51
1. Die Gruppen SO(p, q), SO(n,C) und SU(p,g) 51
2. Beispiele: Die Gruppen 0(2), 0(1,1), SO(3) und.SU(2) 53
3. Konjugationsklassen, maximale Tori, Weyl-Gruppen 58
VIII Inhaltsverzeichnis
4. Anwendung: Zentrum von U(n), SU(n) und SO(ra) 64
5. Normalteiler in SU(2) 65
6. Spiegelungen, Transitivität von O(V, h) auf Sphären 66
7. Erzeugung von O(V, h) durch Spiegelungen 68
8. Erzeugung von U(F, h) durch Quasi-Spiegelungen 68
9. Zusammenhang von SO(V, Ä) und U(V,h) 69
10. Bewegungsgruppe des IR , Galilei-Gruppe 70
11. Iwasawa-Zerlegung 72
12. Polar- und Cartan-Zerlegung 72
13. Lorentz-Gruppe und Minkowski-Raum 73
14. Isomorphie der Lorentz-Gruppe mit SL(2, €)/{£} und SO(3)
mit SU(2)/{£} 76
15. Beschreibung von 0(4) (und 0(3)) durch Quaternionen,
Nicht-Einfachheit von S0(4)/{£} 78
16. Hermitesche Formen auf Hn und die Gruppen U(p, q; IH) 79
Aufgaben 80
§ 5 Symplektische Gruppen 82
1. Grundbegriffe 82
2. Zerlegung in hyperbolische Ebenen, Normalformensatz 83
3. Die symplektische Gruppe Sp(2n, K) 84
4. Anwendung: Hamiltonsche Gleichungen und ihre Invarianten 85
5. Erzeugung von Sp(V, s) durch Transvektionen, die Inklusion
Sp(2n, K) C SL(2n, K), Zusammenhang 86
6. Die Gruppe Sp(2n) 88
7. Konjugationsklassen, maximaler Tonis und Weyl-Gruppe von
Sp(2n) 89
8. Eine anti-Hermitesche Form auf 1H und die Gruppe Uo(n,lH) .. 91
9. Zusammenstellung der klassischen Gruppen 91
Aufgaben 93
Kapitel II. Abgeschlossene Untergruppen von GL(n, IK) 95
§ 1 Die Matrix-Exponentialabbildung 96
0. Mat(n, K) als metrischer Raum 96
1. Konvergenz und lokale Umkehrbarkeit der Exponentialabbildung 99
2. Rechenregeln 102
3. Einparametergruppen 102
4. Die Gleichung expXexpY = exph(X,Y) 104
Aufgaben 105
§ 2 Lineare Gruppen und ihre Lie-Algebren 106
1. Definition, Beispiele 106
Inhaltsverzeichnis IX
2. Die Lie-Algebren der klassischen Gruppen 108
3. Die Abbildung expG : £G — G für einige klassische Gruppen ... 110
4. Lineare Gruppen 112
5. Die Lie-Algebren linearer Gruppen 113
6. Die Exponentialabbildung einer linearen Gruppe 115
7. Die von expG(£G) erzeugte Untergruppe von G, Zusammenhang 116
8. CG als Tangentialraum 119
9. Die Lie-Algebren der Poincare- und Galilei-Gruppe 120
Aufgaben 122
§ 3 Homomorphismen linearer Gruppen und ihrer Lie-Algebren 124
1. Die Gleichung / o expG = expH oCf 124
2. Funktorielle Eigenschaften 126
3. Maximal-kompakte Untergruppen 129
4. Lokale Isomorphie 131
5. Einfacher Zusammenhang und universelle Uberlagerungsgruppe . 134
Aufgaben 136
Kapitel III. Darstellungen der klassischen Gruppen 139
§ 1 Grundlagen der allgemeinen Darstellungstheorie von Gruppen 140
1. Grundlegende Begriffe und Beispiele 140
2. Reduzibilität, direkte Summen 142
3. Unitäre Darstellungen 144
4. Kontragrediente und konjugiert-komplexe Darstellung 146
5. Morphismen, Lemma von Schur 148
6. Tensorprodukte 151
7. Isotypische Zerlegung 159
8. Die Algebra Enda(V) und ihre Darstellungen 162
9. Gruppen mit invarianter Mittelbildung, Charaktere 171
10. Invariante Bilinear- und Sesquilinearformen 179
Aufgaben 182
§ 2 Darstellungstheorie der klassischen Gruppen (globale Methode) 184
1. Darstellungen der symmetrischen Gruppen S* 184
2. Der 5t-Modul V®k und die Darstellungen von EndSi V®* 189
3. Der GL(F)-Modul V®k, Darstellungen von GL(n,C) und
SL(n, C) 192
4. Darstellungen von O(n, C) und Sp(n, C) 198
5. Darstellungen von SO(n, C) 203
6. Darstellungen der reellen klassischen Gruppen 205
Aufgaben 206
X Inhaltsverzeichnis
Kapitel IV. Halbeinfache komplexe Lie-Algebren 209
§ 1 Von der Daxstellungstheorie linearer Gruppen zur Darstellungstheorie
von Lie-Algebren 210
1. Die Ableitung Lp der Darstellung einer linearen Gruppe 210
2. Beispiel: Die adjungierte Darstellung 213
3. Komplexifizierung von Lie-Algebren und Darstellungen 215
4. Vollständige Reduzibilität der klassischen Gruppen und Algebren 218
Aufgaben : 219
§ 2 Halbeinfache Lie-Algebren 220
1. Die Killing-Form 220
2. Wurzelraumzerlegung 223
3. Wurzelraum-Zerlegung von sl(n, C), so(n, C) und sp(n,€) 229
Aufgaben 234
§ 3 Darstellungen halbeinfacher Lie-Algebren 235
1. Zerlegung in Gewichtsräume 235
2. Die irreduziblen Darstellungen von sl(n, C), so(n, C) und sp(n, C) 239
Aufgaben 242
Literatur 245
Symbolverzeichnis 247
Namenverzeichnis 249
Sachverzeichnis 251
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