Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen
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Berlin ; Göttingen ; Heidelberg ; New York
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1964
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Seite
Einleitung..............................
ι
Erster Teil.
Reelle Zahlen und Zahlenfolgen.
I.
Kapitel.
Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen.
§ i. Das System der rationalen Zahlen und seine Lücken....... 3
§ 2. Rationale Zahlenfolgen..................... 14
§ 3. Die irrationalen Zahlen..................... 24
§ 4. Vollständigkeit und Einzigkeit des Systems der reellen Zahlen ... 34
§ 5. Die Systembrüche und der DEDEKiNDsche Schnitt......... 38
Aufgaben zum I.Kapitel (1—8). . . ,............ 43
II.
Kapitel.
Reelle Zahlenfolgen.
§ 6. Beliebige reelle Zahlenfolgen und Nullfolgen............ 44
§ 7. Potenz, Wurzel und Logarithmus. Spezielle Nullfolgen....... 49
§ 8. Konvergente Zahlenfolgen. Der CAUCHYsche Grenzwertsatz und seine
Verallgemeinerungen...................... 64
§ 9. Die beiden Hauptkriterien.................... 79
§ 10. Häufungswerte und Häufungsgrenzen............... 90
§ 11. Unendliche Reihen, Produkte und Kettenbrüche.......... 100
Aufgaben zum
II.
Kapitel (9—33)............... 108
Zweiter Teil.
Grundlagen der Theorie der unendlichen Reihen.
III.
Kapitel.
Reihen mit positiven Gliedern.
§ 12. Das erste Hauptkriterium und die beiden Vergleichskriterien . . . . 112
§ 13. Das Wurzel- und das Quotientenkriterium............ 118
§ 14. Reihen mit positiven monoton abnehmenden Gliedern....... 121
Aufgaben zum
III.
Kapitel (34—44).............. 126
IV.
Kapitel.
Reihen mit beliebigen Gliedern.
§ 15. Das zweite Hauptkriterium und das Rechnen mit konvergenten Reihen 127
§ 16. Absolute Konvergenz. Umordnung von Reihen.......... 137
§ 17. Multiplikation unendlicher Reihen................ 146
Aufgaben zum
IV.
Kapitel (45—63).............. 149
χ
Inhaltsverzeichnis.
V.
Kapitel.
Potenzreihen.
§ 18. Der Konvergenzradius......................151
§ 19. Funktionen einer reellen Veränderlichen..............158
§ 20. Haupteigenschaften der durch Potenzreihen dargestellten Funktionen 172
§ 21. Das Rechnen mit Potenzreihen..................181
Aufgaben zum
V.
Kapitel (64—73)..............191
VI.
Kapitel.
Die Entwicklungen der sog. elementaren Funktionen.
§ 22. Die rationalen Funktionen.................... 192
§ 23. Die Exponentialfunktion..................... 194
§ 24. Die trigonometrischen Funktionen................ 202
§ 25. Die binomische Reihe...................... 213
§ 26. Die logarithmische Reihe.................... 217
§ 27. Die zyklometrischen Funktionen................. 219
Aufgaben zum
VI.
Kapitel (74—84).............. 221
VII.
Kapitel.
Unendliche Produkte.
§ 28. Produkte mit positiven Gliedern.................224
§ 29. Produkte mit beliebigen Gliedern. Absolute Konvergenz......228
§ 30. Zusammenhang zwischen Reihen und Produkten. Bedingte und un¬
bedingte Konvergenz.....................233
Aufgaben zum
VII.
Kapitel (85—99).............235
VIII. Kapitel.
Geschlossene und numerische Auswertung der Reihensumme.
§ 3T. Problemstellung......................... 237
§ 3z. Geschlossene Auswertung der Reihensumme............ 240
§ 33. Reihentransformationen..................... 249
§ 34. Numerische Berechnungen.................... 256
§ 35. Anwendung der Reihentransformationen bei numerischen Berech¬
nungen............................ 269
Aufgaben zum VIII. Kapitel (100—132)............ 276
Dritter Teil.
Ausbau der Theorie.
IX.
Kapitel.
Reihen mit positiven Gliedern.
§ 36. Genauere Untersuchung der beiden Vergleichskriterien.......283
§ 37. Die logarithmischen Vergleichsskalen...............287
§ 38. Spezielle Vergleichskriterien
II.
Art................293
§ 39. Die Sätze von Abel,
Dini
und Pringsheim und neue Herleitung der
logarithmischen Vergleichsskalen aus ihnen...........299
§ 40. Reihen mit positiven monoton abnehmenden Gliedern.......303
§ 41. Allgemeine Bemerkungen zur Konvergenztheorie der Reihen mit
positiven Gliedern.......................307
§ 42. Systematisierung der allgemeinen Konvergenztheorie........314
Aufgaben zum
IX.
Kapitel {133—141).............320
Inhaltsverzeichnis.
XI
X.
Kapitel.
Reihen mit beliebigen Gliedern. Seite
§ 43. Konvergenzkriterien für Reihen mit beliebigen Gliedern......322
§ 44. Umordnung nur bedingt konvergenter Reihen...........327
§ 45. Multiplikation nur bedingt konvergenter Reihen..........330
Aufgaben zum
X.
Kapitel (142—153).............334
XI.
Kapitel.
Reihen mit veränderlichen Gliedern (Funktionenfolgen).
§ 46. Gleichmäßige Konvergenz.................... 336
§ 47. Gliedweise Grenzübergänge.................... 348
§ 48. Kriterien für gleichmaßige Konvergenz.............. 355
§ 49. Fouriersche Reihen....................... 360
A. Die Eulerschen Formeln.................. 360
B. Das Dirichletsche Integral................. 367
C. Konvergenzbedingungen.................. 376
§ 50. Anwendungen der Theorie der FouKiEKschen Reihen........ 384
§51. Produkte mit veränderlichen Gliedern............... 393
Aufgaben zum
XI.
Kapitel (154—173).............398
XII. Kapitel.
Reihen mit komplexen Gliedern.
§ 52. Komplexe Zahlen und Zahlenfolgen................ 401
§ 53. Reihen mit komplexen Gliedern................. 409
§ 54. Potenzreihen. Analytische Funktionen.............. 415
§ 55. Die elementaren analytischen Funktionen............. 424
I.
Die rationalen Funktionen................ 424
II.
Die Exponentialfunktion................. 425
III.
cos
ζ
und sin
ζ
..................... 428
IV.
ctg
г
und
tg
ζ
...................... 431
V.
Die logarithmische Reihe................. 433
VI.
Die
arc sin-Reihe
.................... 435
VII. Die
arctg-Reihe..................... 436
VIII. Die Binomialreihe.................... 437
§ 56. Reihen mit veränderlichen Gliedern. Gleichmäßige Konvergenz.
WEiERSTRASSscher Doppelreihensatz.............. 442
§ 57. Produkte mit komplexen Gliedern................ 448
§ 58. Spezielle Klassen von Reihen analytischer Funktionen....... 456
A. DiRiCHLETsche Reihen................... 456
B. Fakultätenreihen...................... 462
С
LAMBERTsche Reihen.................... 464
Aufgaben zum XII. Kapitel (174—199)............468
XIII. Kapitel.
Divergente Reihen.
§ 59. Allgemeine Bemerkungen über divergente Zahlenfolgen und die Ver¬
fahren zu ihrer Limitierung..................473
§ 60. Das C- und H-Verfahren....................495
§ 61. Anwendung der C^-Summierung auf die Theorie der FouRiERschen
Reihen............................510
§
Ь2.
Das .¿-Verfahren........................516
§ 63. Das JE-Verfahren........................525
Aufgaben zum XIII. Kapitel {200—216)............534
XI
J Tnhaltsverzeichnis.
XIV. Kapitel.
Die EuLERSche Summenformel. Asymptotische
Entwi ckl
ungen
. Se
і
te
§ 64. Die EuLERsche Summenformel.................. 536
A. Die Summenformcl..................... 536
B. Anwendungen....................... 544
C. Restabschätzungen..................... 550
§ 65. Asymptotische Reihen...................... 554
§ 66. Spezielle asymptotische Entwicklungen.............. 561
A. Beispiele zum Entwicklungsproblem............. 561
B. Beispiele für das Summierungsproblem............ 567
Aufgaben zum XIV. Kapitel (217^-225)............ 572
Literatur............................. 575
Namen- und Sachverzeichnis................... 576
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