Existence, uniqueness and asymptotic stability of time periodic traveling waves for a periodic Lotka–Volterra competition system with diffusion

We study the existence, uniqueness, and asymptotic stability of time periodic traveling wave solutions to a periodic diffusive Lotka–Volterra competition system. Under certain conditions, we prove that there exists a maximal wave speed c ⁎ such that for each wave speed c ⩽ c ⁎ , there is a time periodic traveling wave connecting two semi-trivial periodic solutions of the corresponding kinetic system. It is shown that such a traveling wave is unique modulo translation and is monotone with respect to its co-moving frame coordinate. We also show that the traveling wave solutions with wave speed c < c ⁎ are asymptotically stable in certain sense. In addition, we establish the nonexistence of time periodic traveling waves for nonzero speed c > c ⁎ . On étudie lʼexistence, lʼunicité, et la stabilité asymptotique des ondes progressives périodiques pour un système compétitif de Lotka–Volterra avec diffusion. Sous certaines conditions, on démontre quʼil existe une vitesse maximale c ⁎ telle que pour chaque vitesse c < c ⁎ , il existe une onde périodique progressive en temps connectant deux solutions semi-triviales correspondant à la cinétique du système. On démontre que cette onde (modulo les translations) est unique et est monotone dans le repère lié à lʼonde. On montre que les ondes avec une vitesse c < c ⁎ sont asymptotiquement stables (en un certain sens). Enfin, on établit la non existence des ondes périodiques progressives pour des vitesses c > c ⁎ .