The homology of special linear groups over polynomial rings

We study the homology of SL n ( F[ t, t −1]) by examining the action of the group on a suitable simplicial complex. The E 1-term of the resulting spectral sequence is computed and the differential, d 1, is calculated in some special cases to yield information about the low-dimensional homology groups of SL n ( F[ t,t −1]). In particular, we show that if F is an infinite field, then H 2( SL n ( F[ t, t −1]), ℤ) = K 2( F[ t, t −1]) for n ≥ 3. We also prove an unstable analogue of homotopy invariance in algebraic K-theory; namely, if F is an infinite field, then the natural map SL n ( F) → SL n ( F[ t]) induces an isomorphism on integral homology for all n ≥ 2. Nous étudions l'homologie de SL n ( F[ t,t −1]) en examinant l'action de ce groupe sur un complexe simplicial adéquat. Le terme E 1 de la suite spectrale associée est déterminé et la différentielle d 1 est calculée dans certains cas, ce qui permet alors de comprendre l'homologie du groupe SL n ( F[ t,t −1]) en bas degré. En particulier, nous montrons que si F est un corps infini, alors H 2( SL n ( F[ t,t −1]),ℤ) = K 2( F[ t,t −1]) pour n ≥ 3. Nous prouvons aussi un analogue instable de l'invariance homotopique en K-théorie algébrique: si F est un corps infini alors la flèche naturelle SL n ( F) → SL n ( F[ t]) induit un isomorphisme en homologie entière pour n ≥ 2.