Twisted K-theory of differentiable stacks

In this paper, we develop twisted K-theory for stacks, where the twisted class is given by an S 1 -gerbe over the stack. General properties, including the Mayer–Vietoris property, Bott periodicity, and the product structure K α i ⊗ K β j → K α + β i + j are derived. Our approach provides a uniform framework for studying various twisted K-theories including the usual twisted K-theory of topological spaces, twisted equivariant K-theory, and the twisted K-theory of orbifolds. We also present a Fredholm picture, and discuss the conditions under which twisted K-groups can be expressed by so-called “twisted vector bundles”. Our approach is to work on presentations of stacks, namely groupoids, and relies heavily on the machinery of K-theory ( KK-theory) of C ∗ -algebras. Dans cet article, nous développons la K-théorie tordue pour les champs différentiables, où la torsion s'effectue par une S 1 -gerbe sur le champ en question. Nous en établissons les propriétés générales telles que les suites exactes de Mayer–Vietoris, la périodicité de Bott, et le produit K α i ⊗ K β j → K α + β i + j . Notre approche fournit un cadre général permettant d'étudier diverses K-théories tordues, en particulier la K-théorie tordue usuelle des espaces topologiques, la K-théorie tordue équivariante, et la K-théorie tordue des orbifolds. Nous donnons également une définition équivalente utilisant des opérateurs de Fredholm, et nous discutons les conditions sous lesquelles les groupes de K-théorie tordue peuvent être réalisés à partir de “fibrés vectoriels tordus”. Notre approche consiste à travailler sur les réalisations concrètes des champs, à savoir les groupoïdes, et s'appuie de façon importante sur les techniques de K-théorie ( KK-théorie) des C ∗ -algèbres.