Вещественные гамильтоновы формы аффинных теорий поля Тоды: спектральные аспекты

Рассматриваются вещественные гамильтоновы формы двумерных теорий поля Тоды, связанных с исключительными простыми алгебрами Ли, и спектральная теория соответствующих операторов Лакса. Эти вещественные гамильтоновы формы представляют собой особый тип "редукций" гамильтоновых систем и аналогичны вещественным формам полупростых алгебр Ли. Рассмотрены примеры вещественных гамильтоновых форм аффинных теорий поля Тоды, связанных с исключительными комплексными нескрученными аффинными алгебрами Каца-Муди. Наряду с представлениями Лакса сформулированы соответствующие задачи Римана-Гильберта и найдены минимальные наборы данных рассеяния, которые однозначно определяют матрицы рассеяния и потенциалы операторов Лакса. The paper is devoted to real Hamiltonian forms of $2$-dimensional Toda field theories related to exceptional simple Lie algebras, and to the spectral theory of the associated Lax operators. Real Hamiltonian forms are a special type of "reductions" of Hamiltonian systems, similar to real forms of semisimple Lie algebras. Examples of real Hamiltonian forms of affine Toda field theories related to exceptional complex untwisted affine Kac-Moody algebras are studied. Along with the associated Lax representations, we also formulate the relevant Riemann-Hilbert problems and derive the minimal sets of scattering data that uniquely determine the scattering matrices and the potentials of the Lax operators.