Однородные системы с квадратичными интегралами, квазискобки Ли-Пуассона и метод Ковалевской

Рассматриваются дифференциальные уравнения с квадратичными правыми частями, допускающие два квадратичных первых интеграла, один из которых - положительно определенная квадратичная форма. Указаны условия общего характера, при которых линейной заменой переменных эта система приводится к некоторому "каноническому" виду. При этих условиях система оказывается бездивергентной и приводится к гамильтоновой форме, однако соответствующая линейная скобка Ли-Пуассона не всегда удовлетворяет тождеству Якоби. В трехмерном случае уравнения приводятся к классическим уравнениям волчка Эйлера, а в четырехмерном пространстве система оказывается суперинтегрируемой и совпадает с уравнениями Эйлера-Пуанкаре на некоторой алгебре Ли. В пятимерном случае найден приводящий множитель, после умножения на который скобка Пуассона удовлетворяет тождеству Якоби. В общем случае при $n>5$ доказано отсутствие приводящего множителя. В качестве примера рассмотрена система типа Лотки-Вольтерра с квадратичными правыми частями, изучавшаяся еще Ковалевской с точки зрения условий однозначности ее решений как функций комплексного времени. Библиография: 38 названий. We consider differential equations with quadratic right-hand sides that admit two quadratic first integrals, one of which is a positive-definite quadratic form. We indicate conditions of general nature under which a linear change of variables reduces this system to a certain ‘canonical’ form. Under these conditions, the system turns out to be divergenceless and can be reduced to a Hamiltonian form, but the corresponding linear Lie-Poisson bracket does not always satisfy the Jacobi identity. In the three-dimensional case, the equations can be reduced to the classical equations of the Euler top, and in four-dimensional space, the system turns out to be superintegrable and coincides with the Euler-Poincaré equations on some Lie algebra. In the five-dimensional case we find a reducing multiplier after multiplying by which the Poisson bracket satisfies the Jacobi identity. In the general case for $n>5$ we prove the absence of a reducing multiplier. As an example we consider a system of Lotka-Volterra type with quadratic right-hand sides that was studied by Kovalevskaya from the viewpoint of conditions of uniqueness of its solutions as functions of complex time. Bibliography: 38 titles.