Асимптотики по спектральному параметру для решений $(2 \times 2)$-систем обыкновенных дифференциальных уравнений
Мы рассматриваем $(2 \times 2)$-систему обыкновенных дифференциальных уравнений $$ y'-By=\lambda Ay, \qquad y=y(x), \quad x \in [0, 1], $$ где $A=\operatorname{diag}\{a_1(x), a_2(x)\}$, $B=\{b_{kj}(x)\}_{k, j=1}$, и все функции в этих матрицах комлекснозначные и суммируемые. При выполнении усло...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Matematic̆eskie zametki 2023, Vol.114 (4), p.543-562 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | rus |
| Online-Zugang: | Volltext |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| container_end_page | 562 |
|---|---|
| container_issue | 4 |
| container_start_page | 543 |
| container_title | Matematic̆eskie zametki |
| container_volume | 114 |
| creator | Kosarev, Alexey Pavlovich Shkalikov, Andrei Andreevich |
| description | Мы рассматриваем $(2 \times 2)$-систему обыкновенных дифференциальных уравнений
$$
y'-By=\lambda Ay, \qquad y=y(x), \quad x \in [0, 1],
$$
где $A=\operatorname{diag}\{a_1(x), a_2(x)\}$, $B=\{b_{kj}(x)\}_{k, j=1}$, и все функции в этих матрицах комлекснозначные и суммируемые. При выполнении условий
$$
a_1,a_2, b_{21},b_{12} \in W^n_1[0,1],
\qquad b_{11}, b_{22} \in W^{n-1}_1[0,1],
$$
мы получаем $n+1$ членов асимптотического разложения по степеням $\lambda^{-1}$, $\lambda \to \infty$, фундаментальной матрицы решений рассматриваемого уравнения. Эти разложения справедливы в полуплоскостях $\Pi_{\kappa}=\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}{\lambda} \ge -\kappa \}$, $\kappa \in \mathbb{R}$, и $-\Pi_{\kappa}$ при условии $a_1(x)-a_2(x) > 0$. При выполнении условия $\lvert\operatorname{arg}\{a_1(x)-a_2(x)\}\rvert |
| doi_str_mv | 10.4213/mzm14119 |
| format | Article |
| fullrecord | <record><control><sourceid>crossref</sourceid><recordid>TN_cdi_crossref_primary_10_4213_mzm14119</recordid><sourceformat>XML</sourceformat><sourcesystem>PC</sourcesystem><sourcerecordid>10_4213_mzm14119</sourcerecordid><originalsourceid>FETCH-crossref_primary_10_4213_mzm141193</originalsourceid><addsrcrecordid>eNqVUM1Kw0AQXkTBoAUfYQ891EN0d5P05yyKD9CDByEUSaFiULJe9NR_hBbqo7SlgVjzc_U480bOhvgALgwL3-8wjJ1JceEq6VyG76F0pewcMEs5wrNVuy0OmSWE8myv2bo7ZjWtHwU9r-nSWOwHPnEECaRQ4BhymgT2kHAoIOfEFBDDHsc4hDV84xIyyCHFieHXJZhCbGgD7Uix4oTG-EG2jKK-eL2h-P3rIAw0V-d125ThiGpiSDllbXBBfSZ1W1oyXODMRCU4xSklDQ2Mc8qqFigFOCnLt-Soik7ZUb_3pINa9Z-wxs119-rWfoietY6Cvv8SDcJe9OZL4Ztj-X_Hcv4h_QVUfLDC</addsrcrecordid><sourcetype>Aggregation Database</sourcetype><iscdi>true</iscdi><recordtype>article</recordtype></control><display><type>article</type><title>Асимптотики по спектральному параметру для решений $(2 \times 2)$-систем обыкновенных дифференциальных уравнений</title><source>Math-Net.Ru (free access)</source><creator>Kosarev, Alexey Pavlovich ; Shkalikov, Andrei Andreevich</creator><creatorcontrib>Kosarev, Alexey Pavlovich ; Shkalikov, Andrei Andreevich</creatorcontrib><description>Мы рассматриваем $(2 \times 2)$-систему обыкновенных дифференциальных уравнений
$$
y'-By=\lambda Ay, \qquad y=y(x), \quad x \in [0, 1],
$$
где $A=\operatorname{diag}\{a_1(x), a_2(x)\}$, $B=\{b_{kj}(x)\}_{k, j=1}$, и все функции в этих матрицах комлекснозначные и суммируемые. При выполнении условий
$$
a_1,a_2, b_{21},b_{12} \in W^n_1[0,1],
\qquad b_{11}, b_{22} \in W^{n-1}_1[0,1],
$$
мы получаем $n+1$ членов асимптотического разложения по степеням $\lambda^{-1}$, $\lambda \to \infty$, фундаментальной матрицы решений рассматриваемого уравнения. Эти разложения справедливы в полуплоскостях $\Pi_{\kappa}=\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}{\lambda} \ge -\kappa \}$, $\kappa \in \mathbb{R}$, и $-\Pi_{\kappa}$ при условии $a_1(x)-a_2(x) > 0$. При выполнении условия $\lvert\operatorname{arg}\{a_1(x)-a_2(x)\}\rvert<\phi<\pi /2$ они справедливы в секторах $S=\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \lvert\operatorname{arg}\lambda\rvert \le \pi/2-\phi-\varepsilon\}$, $\varepsilon > 0$, и $-S$. Основная новизна работы в том, что предполагаются минимальные условия на гладкость элементов матриц $A$ и $B$, а формулы для матриц, участвующих в асимптотических разложениях, предъявляются в явном виде. Указанные результаты являются новыми и для системы Дирака.
Библиография: 19 названий.
We consider a $2 \times 2$ system of ordinary differential equations
$$
y'-By=\lambda Ay,
\qquad y=y(x),
\quad x \in [0, 1],
$$
where $A=\operatorname{diag}\{a_1(x), a_2(x)\}$, $B=\{b_{kj}(x)\}_{k, j=1}$, and all functions occurring in the matrices are complex-valued and integrable. In the case
$$
a_1,a_2, b_{21},b_{12} \in W^n_1[0,1],
\qquad
b_{11}, b_{22} \in W^{n-1}_1[0,1],
$$
we obtain $n+1$ terms of the asymptotic expansion in powers of $\lambda^{-1}$, $\lambda \to \infty$, of the fundamental matrix of solutions of this equation. These asymptotic expansions are valid in the half-planes $\Pi_{\kappa}=\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}{\lambda} \ge -\kappa \}$, $\kappa \in \mathbb{R}$, and $-\Pi_{\kappa}$ if $a_1(x)-a_2(x) >0$. They hold in the sectors $S=\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \lvert\operatorname{arg}\lambda\rvert \le \pi/2-\phi-\varepsilon\}$, $\varepsilon > 0$, and $-S$ under the condition that $\lvert\operatorname{arg}\{a_1(x)-a_2(x)\}\rvert<\phi<\pi /2$. The main novelty of the work is that we assume minimal conditions for the smoothness of the functions and in addition we obtain explicit formulae for matrices involved in asymptotic expansions. The results are also new for the Dirac system.</description><identifier>ISSN: 0025-567X</identifier><identifier>EISSN: 2305-2880</identifier><identifier>DOI: 10.4213/mzm14119</identifier><language>rus</language><ispartof>Matematic̆eskie zametki, 2023, Vol.114 (4), p.543-562</ispartof><lds50>peer_reviewed</lds50><woscitedreferencessubscribed>false</woscitedreferencessubscribed><cites>FETCH-crossref_primary_10_4213_mzm141193</cites></display><links><openurl>$$Topenurl_article</openurl><openurlfulltext>$$Topenurlfull_article</openurlfulltext><thumbnail>$$Tsyndetics_thumb_exl</thumbnail><link.rule.ids>314,780,784,4024,27923,27924,27925</link.rule.ids></links><search><creatorcontrib>Kosarev, Alexey Pavlovich</creatorcontrib><creatorcontrib>Shkalikov, Andrei Andreevich</creatorcontrib><title>Асимптотики по спектральному параметру для решений $(2 \times 2)$-систем обыкновенных дифференциальных уравнений</title><title>Matematic̆eskie zametki</title><description>Мы рассматриваем $(2 \times 2)$-систему обыкновенных дифференциальных уравнений
$$
y'-By=\lambda Ay, \qquad y=y(x), \quad x \in [0, 1],
$$
где $A=\operatorname{diag}\{a_1(x), a_2(x)\}$, $B=\{b_{kj}(x)\}_{k, j=1}$, и все функции в этих матрицах комлекснозначные и суммируемые. При выполнении условий
$$
a_1,a_2, b_{21},b_{12} \in W^n_1[0,1],
\qquad b_{11}, b_{22} \in W^{n-1}_1[0,1],
$$
мы получаем $n+1$ членов асимптотического разложения по степеням $\lambda^{-1}$, $\lambda \to \infty$, фундаментальной матрицы решений рассматриваемого уравнения. Эти разложения справедливы в полуплоскостях $\Pi_{\kappa}=\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}{\lambda} \ge -\kappa \}$, $\kappa \in \mathbb{R}$, и $-\Pi_{\kappa}$ при условии $a_1(x)-a_2(x) > 0$. При выполнении условия $\lvert\operatorname{arg}\{a_1(x)-a_2(x)\}\rvert<\phi<\pi /2$ они справедливы в секторах $S=\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \lvert\operatorname{arg}\lambda\rvert \le \pi/2-\phi-\varepsilon\}$, $\varepsilon > 0$, и $-S$. Основная новизна работы в том, что предполагаются минимальные условия на гладкость элементов матриц $A$ и $B$, а формулы для матриц, участвующих в асимптотических разложениях, предъявляются в явном виде. Указанные результаты являются новыми и для системы Дирака.
Библиография: 19 названий.
We consider a $2 \times 2$ system of ordinary differential equations
$$
y'-By=\lambda Ay,
\qquad y=y(x),
\quad x \in [0, 1],
$$
where $A=\operatorname{diag}\{a_1(x), a_2(x)\}$, $B=\{b_{kj}(x)\}_{k, j=1}$, and all functions occurring in the matrices are complex-valued and integrable. In the case
$$
a_1,a_2, b_{21},b_{12} \in W^n_1[0,1],
\qquad
b_{11}, b_{22} \in W^{n-1}_1[0,1],
$$
we obtain $n+1$ terms of the asymptotic expansion in powers of $\lambda^{-1}$, $\lambda \to \infty$, of the fundamental matrix of solutions of this equation. These asymptotic expansions are valid in the half-planes $\Pi_{\kappa}=\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}{\lambda} \ge -\kappa \}$, $\kappa \in \mathbb{R}$, and $-\Pi_{\kappa}$ if $a_1(x)-a_2(x) >0$. They hold in the sectors $S=\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \lvert\operatorname{arg}\lambda\rvert \le \pi/2-\phi-\varepsilon\}$, $\varepsilon > 0$, and $-S$ under the condition that $\lvert\operatorname{arg}\{a_1(x)-a_2(x)\}\rvert<\phi<\pi /2$. The main novelty of the work is that we assume minimal conditions for the smoothness of the functions and in addition we obtain explicit formulae for matrices involved in asymptotic expansions. The results are also new for the Dirac system.</description><issn>0025-567X</issn><issn>2305-2880</issn><fulltext>true</fulltext><rsrctype>article</rsrctype><creationdate>2023</creationdate><recordtype>article</recordtype><recordid>eNqVUM1Kw0AQXkTBoAUfYQ891EN0d5P05yyKD9CDByEUSaFiULJe9NR_hBbqo7SlgVjzc_U480bOhvgALgwL3-8wjJ1JceEq6VyG76F0pewcMEs5wrNVuy0OmSWE8myv2bo7ZjWtHwU9r-nSWOwHPnEECaRQ4BhymgT2kHAoIOfEFBDDHsc4hDV84xIyyCHFieHXJZhCbGgD7Uix4oTG-EG2jKK-eL2h-P3rIAw0V-d125ThiGpiSDllbXBBfSZ1W1oyXODMRCU4xSklDQ2Mc8qqFigFOCnLt-Soik7ZUb_3pINa9Z-wxs119-rWfoietY6Cvv8SDcJe9OZL4Ztj-X_Hcv4h_QVUfLDC</recordid><startdate>2023</startdate><enddate>2023</enddate><creator>Kosarev, Alexey Pavlovich</creator><creator>Shkalikov, Andrei Andreevich</creator><scope>AAYXX</scope><scope>CITATION</scope></search><sort><creationdate>2023</creationdate><title>Асимптотики по спектральному параметру для решений $(2 \times 2)$-систем обыкновенных дифференциальных уравнений</title><author>Kosarev, Alexey Pavlovich ; Shkalikov, Andrei Andreevich</author></sort><facets><frbrtype>5</frbrtype><frbrgroupid>cdi_FETCH-crossref_primary_10_4213_mzm141193</frbrgroupid><rsrctype>articles</rsrctype><prefilter>articles</prefilter><language>rus</language><creationdate>2023</creationdate><toplevel>peer_reviewed</toplevel><toplevel>online_resources</toplevel><creatorcontrib>Kosarev, Alexey Pavlovich</creatorcontrib><creatorcontrib>Shkalikov, Andrei Andreevich</creatorcontrib><collection>CrossRef</collection><jtitle>Matematic̆eskie zametki</jtitle></facets><delivery><delcategory>Remote Search Resource</delcategory><fulltext>fulltext</fulltext></delivery><addata><au>Kosarev, Alexey Pavlovich</au><au>Shkalikov, Andrei Andreevich</au><format>journal</format><genre>article</genre><ristype>JOUR</ristype><atitle>Асимптотики по спектральному параметру для решений $(2 \times 2)$-систем обыкновенных дифференциальных уравнений</atitle><jtitle>Matematic̆eskie zametki</jtitle><date>2023</date><risdate>2023</risdate><volume>114</volume><issue>4</issue><spage>543</spage><epage>562</epage><pages>543-562</pages><issn>0025-567X</issn><eissn>2305-2880</eissn><abstract>Мы рассматриваем $(2 \times 2)$-систему обыкновенных дифференциальных уравнений
$$
y'-By=\lambda Ay, \qquad y=y(x), \quad x \in [0, 1],
$$
где $A=\operatorname{diag}\{a_1(x), a_2(x)\}$, $B=\{b_{kj}(x)\}_{k, j=1}$, и все функции в этих матрицах комлекснозначные и суммируемые. При выполнении условий
$$
a_1,a_2, b_{21},b_{12} \in W^n_1[0,1],
\qquad b_{11}, b_{22} \in W^{n-1}_1[0,1],
$$
мы получаем $n+1$ членов асимптотического разложения по степеням $\lambda^{-1}$, $\lambda \to \infty$, фундаментальной матрицы решений рассматриваемого уравнения. Эти разложения справедливы в полуплоскостях $\Pi_{\kappa}=\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}{\lambda} \ge -\kappa \}$, $\kappa \in \mathbb{R}$, и $-\Pi_{\kappa}$ при условии $a_1(x)-a_2(x) > 0$. При выполнении условия $\lvert\operatorname{arg}\{a_1(x)-a_2(x)\}\rvert<\phi<\pi /2$ они справедливы в секторах $S=\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \lvert\operatorname{arg}\lambda\rvert \le \pi/2-\phi-\varepsilon\}$, $\varepsilon > 0$, и $-S$. Основная новизна работы в том, что предполагаются минимальные условия на гладкость элементов матриц $A$ и $B$, а формулы для матриц, участвующих в асимптотических разложениях, предъявляются в явном виде. Указанные результаты являются новыми и для системы Дирака.
Библиография: 19 названий.
We consider a $2 \times 2$ system of ordinary differential equations
$$
y'-By=\lambda Ay,
\qquad y=y(x),
\quad x \in [0, 1],
$$
where $A=\operatorname{diag}\{a_1(x), a_2(x)\}$, $B=\{b_{kj}(x)\}_{k, j=1}$, and all functions occurring in the matrices are complex-valued and integrable. In the case
$$
a_1,a_2, b_{21},b_{12} \in W^n_1[0,1],
\qquad
b_{11}, b_{22} \in W^{n-1}_1[0,1],
$$
we obtain $n+1$ terms of the asymptotic expansion in powers of $\lambda^{-1}$, $\lambda \to \infty$, of the fundamental matrix of solutions of this equation. These asymptotic expansions are valid in the half-planes $\Pi_{\kappa}=\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}{\lambda} \ge -\kappa \}$, $\kappa \in \mathbb{R}$, and $-\Pi_{\kappa}$ if $a_1(x)-a_2(x) >0$. They hold in the sectors $S=\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \lvert\operatorname{arg}\lambda\rvert \le \pi/2-\phi-\varepsilon\}$, $\varepsilon > 0$, and $-S$ under the condition that $\lvert\operatorname{arg}\{a_1(x)-a_2(x)\}\rvert<\phi<\pi /2$. The main novelty of the work is that we assume minimal conditions for the smoothness of the functions and in addition we obtain explicit formulae for matrices involved in asymptotic expansions. The results are also new for the Dirac system.</abstract><doi>10.4213/mzm14119</doi></addata></record> |
| fulltext | fulltext |
| identifier | ISSN: 0025-567X |
| ispartof | Matematic̆eskie zametki, 2023, Vol.114 (4), p.543-562 |
| issn | 0025-567X 2305-2880 |
| language | rus |
| recordid | cdi_crossref_primary_10_4213_mzm14119 |
| source | Math-Net.Ru (free access) |
| title | Асимптотики по спектральному параметру для решений $(2 \times 2)$-систем обыкновенных дифференциальных уравнений |
| url | https://sfx.bib-bvb.de/sfx_tum?ctx_ver=Z39.88-2004&ctx_enc=info:ofi/enc:UTF-8&ctx_tim=2025-01-05T06%3A15%3A44IST&url_ver=Z39.88-2004&url_ctx_fmt=infofi/fmt:kev:mtx:ctx&rfr_id=info:sid/primo.exlibrisgroup.com:primo3-Article-crossref&rft_val_fmt=info:ofi/fmt:kev:mtx:journal&rft.genre=article&rft.atitle=%D0%90%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%82%D0%BE%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8%20%D0%BF%D0%BE%20%D1%81%D0%BF%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D1%83%20%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%83%20%D0%B4%D0%BB%D1%8F%20%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9%20$(2%20%5Ctimes%202)$-%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%20%D0%BE%D0%B1%D1%8B%D0%BA%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85%20%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9&rft.jtitle=Matematic%CC%86eskie%20zametki&rft.au=Kosarev,%20Alexey%20Pavlovich&rft.date=2023&rft.volume=114&rft.issue=4&rft.spage=543&rft.epage=562&rft.pages=543-562&rft.issn=0025-567X&rft.eissn=2305-2880&rft_id=info:doi/10.4213/mzm14119&rft_dat=%3Ccrossref%3E10_4213_mzm14119%3C/crossref%3E%3Curl%3E%3C/url%3E&disable_directlink=true&sfx.directlink=off&sfx.report_link=0&rft_id=info:oai/&rft_id=info:pmid/&rfr_iscdi=true |