Конструктивная квазиклассическая асимптотика связанных состояний графена в постоянном магнитном поле с малой массой

Работа посвящена конструктивным квазиклассическим асимптотикам собственных функций оператора Дирака, описывающего графен в постоянном магнитном поле. Рассматриваются два случая: (а) сильного магнитного поля, и (б) радиально симметричного электрического поля и малой массы. Стандартными квазиклассическими методами задача сведена к пучку магнитных операторов Шрeдингера с поправкой. В обоих случаях классическая система, определяемая главным символом, оказывается интегрируемой, однако поправка интегрируемость разрушает. В случае (а), где поправка снимает вырождение частот (резонанс), с помощью метода усреднения мы сводим задачу к интегрируемой системе не только в главном приближении, но и с учетом поправки. Торы полученной системы порождают серию асимптотических собственных функций исходного оператора. В случае (б) система, определяемая главным символом, невырождена. Фиксируя у этой системы инвариантный тор с диофантовыми частотами и отыскивая для него решение уравнения переноса, мы получаем серию асимптотических собственных функций, находящихся во взаимно однозначном соответствии с торами, удовлетворяющими правилу квантования Бора-Зоммерфельда и лежащими в малой окрестности выбранного диофантова тора. В обоих случаях построение асимптотик собственных функций опирается на глобальное представление через функцию Эйри и ее производную для канонического оператора Маслова на двумерном торе, проецирующемся на конфигурационное пространство в кольцевидную область с двумя простыми каустиками. Эффективность полученных формул продемонстрирована их численной реализацией на примерах. Библиография: 27 названий. The paper deals with constructive semiclassical asymptotics of eigenfunctions of the Dirac operator describing graphene in a constant magnetic field. Two cases are considered: (a) a strong magnetic field, and (b) a radially symmetric electric field and small mass. Using standard semiclassical methods, we reduce the problem to a pencil of magnetic Schrödinger operators with a correction term. In both cases, the classical system defined by the principal symbol turns out to be integrable, but the correction term destroys the integrability. In case (a), where the correction removes the frequency degeneracy (resonance), we use the averaging method to reduce the problem to an integrable system not only in the leading approximation but also with the correction taken into account. The tori of the resulting system generate a series of asymptotic eigenfunctions of the original