Комбинаторные свойства дифференциально $2$-равномерных подстановок

Развивается комбинаторный подход к исследованиюи методам построения дифференциально $2$-равномерных подстановок векторного пространства над конечным полем $F_2$. Приведены необходимые и достаточные условия, при которых ассоциированное с дифференциально $2$-равномерной подстановкой семейство множеств является симметричной блок-схемой. Показано, что подстановка является дифференциально $2$-равномерной тогда и только тогда, когда она является решением системы уравнений подобия, связывающих семейство трансляций с семейством разновесных инволюций. Предложены способы построения дифференциально $2$-равномерных подстановок с помощьют аблицы Кэли аддитивной группы конечного поля $F_{2^m}$. A combinatorial approach to the investigation and methods of construction of differentially $2$-uniform substitutions of the vector space over the finite field $F_2$ is proposed. Necessary and sufficient conditions for the family of sets associated with a differentially $2$-uniform substitution to be a symmetric block design are given. It is shown that a substitution is differentially $2$-uniform if and only if it is a solution of a similarity equations system connecting a family of translations with a family of unequal weights involutions. We suggest methods of construction of differentially $2$-uniform substitutions by means of the Cayley table of an additive group of finite field $F_{2^m}$.