Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа с интегральным оператором

Поставлена и исследована нелокальная задача для нагруженного уравнения второго порядка эллиптико-гиперболического типа с интегральным оператором в двусвязной области. Единственность решения доказывается с помощью принципа экстремума для уравнений смешанного типа. Для использования принципа экстремума было показано, что нагруженная часть уравнения тождественно равна нулю. Существование решения задачи доказывается методом интегральных уравнений, при этом используются теория сингулярных интегральных уравнений и интегральные уравнения Фредгольма второго рода. We study the existence and uniqueness of the solution of non-local boundary value problem for the loaded elliptic-hyperbolic equation $$ u_{xx} + \mathop{\mathrm{sgn}} (y) u_{yy} + \frac{1 - \mathop{\mathrm{sgn}} (y)}{2} \sum\limits_{k = 1}^n {R_k}(x, u(x, 0)) = 0 $$ with integral operator $$ {R_k}(x, u(x, 0)) = \{ \begin{array}{lc} {p_k}(x)D_{x 1}^{ - {\alpha _k}}u(x, 0), & q \le x \le 1,[2mm] {r_k}(x)D_{ - 1 x}^{ - {\beta _k}}u(x, 0), & - 1 \le x \le - q, \end{array} . $$ where $$ \begin{array}{l} \displaystyle D_{ax}^{ - {\alpha _k}}f(x) = \frac{1}{{\Gamma ({\alpha _k})}} \int _a^x \frac{f(t)}{(x - t)^{1-{\alpha _k} }}dt, \displaystyle D_{xb}^{ - {\beta _k}}f(x) = \frac{1}{{\Gamma ({\beta _k})}} \int _x^b \frac{f(t)}{(t - x)^{1-{\beta _k}}}dt , \end{array} $$ in double-connected domain $\Omega $, bounded with two lines: $$ \sigma _1: x^2 + y^2 = 1,\quad \sigma _2: x^2 + y^2 = q^2 \quad at $y > 0$,$$ and characteristics: $$ A_j C_1: x + ( - 1)^j y = ( - 1)^{j + 1},\quad B_j C_2: x + ( - 1)^j y = ( - 1)^{j + 1} \cdot q$$ of the considered equation at $y < 0$, where $0 < q < 1$, $j = 1, 2$; $A_1 ( 1; 0)$, $A_2( - 1; 0)$, $B_1(q; 0)$, $B_2( - q; 0)$, $C_1(0; - 1)$, $C_2(0; - q)$, $\beta _k$, $\alpha _k > 0$. Uniqueness of the solution of investigated problem was proved by an extremum principle for the mixed type equations. Thus we need to prove that, the loaded part of the equation is identically equal to zero if considerate problem is homogeneous. Existence of the solution of the problem was proved by a method of the integral equations, thus the theory of the singular integral equations and Fredholm integral equations of the second kind were widely used.