Error Estimates for Luke's Approximation Formulas for Bessel and Hankel Functions

Error estimates are presented for approximation formulas for Bessel functions Jn(z) and for the Hankel functions H0(1)(z) and H1(2)(z). These approximation formulas are obtained by means of the trapezoidal rule according to Luke. The error estimates are valid in the case of Bessel funtions for arbitrary real or complex argument z, they hold in the case of the Hankel functions for arguments z with a positive imaginary part. Use is made of Luke's results, some of them are repeated in order to make this paper self‐contained. In order to derive the error estimates for the Hankel functions some inequalities are engaged for the Gamma function with certain complex arguments and for Bessel functions of certain complex orders. Es werden Fehlerabschätzungen für die nach Luke mit Hilfe der Trapezregel gewonnenen Approximationsformeln für die Besselfunktionen Jn(z) und für die Hankelfunktionen H0(1)(z) und H1(1)(z) angegeben. Diese Abschätzungen gelten im Falle der Besselfunktionen für beliebiges reelles oder komplexes Argument z, im Falle der Hankelfunktionen für Argumente z mit positivem Imaginärteil. Dabei wird von Lukes Ergebnissen Gebrauch gemacht; einige werden hier der Vollständigkeit halber wiederholt. Bei der Herleitung der Fehlerabschätzungen für die Hankelfunktionen werden einige Ungleichungen für die Gammafunktion mit gewissen komplexen Argumenten und für Bessel funktionen mit gewissen komplexen Ordnungen herangezogen.