Propriétés analytiques et diophantiennes de certaines séries de Fourier arithmétiques

Nous considérons certaines séries de Fourier liées à la théorie des formes modulaires. Nous étudions leurs propriétés analytiques : la dérivabilité, le module de continuité et l'exposant de Hölder. Nous utilisons deux méthodes différentes. La première revient à trouver et itérer une équation fonctionnelle de la fonction étudiée (méthode d'Itatsu) et la deuxième provient de l'analyse en ondelettes (méthode de Jaffard). L'étape essentielle de chacune dépend de la modularité sous-jacente. Nous trouvons que les propriétés analytiques de ces séries aux points irrationnels sont liées aux propriétés diophantiennes de ces points. Ce travail a été motivé par l'étude de la fonction de Riemann. We consider certain Fourier series which arise from modular or automorphicforms. We study their analytic properties: differentiability, modulus of continuity and theH¨older regularity exponent. We use two different methods. One is based on finding anditerating a functional equation for the function studied (Itatsu’s method), the second onecomes from wavelet analysis (Jaffard’s method). The crucial steps in both of them arebased on the underlined modularity. We find that the analytic properties of these seriesat an irrational x are related to the fine diophantine properties of x, in a very precise way.The work was motivated by the study of the Riemann series.